一阶线性常微分方程解法：dy/dx + py + q = 0

这是一阶线性常微分方程，通解公式为：

y = e^(-∫pdx) * (∫q e^(∫pdx) dx + C)

其中，C为任意常数。

具体步骤如下：

1. 把方程改写为dy/dx = -py - q

2. 用e^(∫pdx)乘两边，得到e^(∫pdx) dy/dx + pe^(∫pdx) y = -qe^(∫pdx)

3. 左边是d/dx(e^(∫pdx) y)，所以可以写成d/dx(e^(∫pdx) y) = -qe^(∫pdx)

4. 对两边同时积分，得到e^(∫pdx) y = -∫q e^(∫pdx) dx + C，其中C为任意常数

5. 两边同时除以e^(∫pdx)，得到y = e^(-∫pdx) * (∫q e^(∫pdx) dx + C)，即通解公式。

例：解方程dy/dx + y = x

1. 把方程改写为dy/dx = -y + x

2. 用e^(∫pdx)乘两边，得到e^x dy/dx + e^x y = xe^x

3. 左边是d/dx(e^x y)，所以可以写成d/dx(e^x y) = xe^x

4. 对两边同时积分，得到e^x y = ∫x e^x dx + C，其中C为任意常数

5. 化简得到y = x + C e^(-x)，即通解。

特解可以通过给定初始条件来确定。例如，如果y(0) = 1，则C = 1，特解为y = x + e^(-x)。