一阶常微分方程 dy/dx + py + q = 0 的通解公式

这是一阶常微分方程，其中 p 和 q 是常数。我们可以使用常微分方程的通解公式来求解它。

首先，我们需要找到它的积分因子。根据求积分因子的公式，我们有：

μ = e^(∫pdx)

现在，我们需要求出∫pdx。因为 p 是一个常数，所以∫pdx 就是 px。因此，我们得到：

μ = e^px

现在，我们将 μ 乘到方程的两边，得到：

e^pxdy/dx + e^pxy + e^pxq = 0

现在，我们可以把它写成一个乘积的形式：

d/dx (e^pxy) + e^pxq = 0

我们可以通过对方程两边积分来得到它的通解：

∫d/dx (e^pxy) dx + ∫e^pxq dx = C

其中，C 是一个常数。

第一个积分可以使用分部积分来求解。令 u = e^pxy，dv/dx = 1，得到：

e^pxy = ∫e^(-px) dx + C1

现在，我们可以将它代入到通解公式中，得到：

e^pxy = Ce^px - ∫e^pxq e^(-px) dx

化简一下，得到：

y = (C - ∫q e^(-px) dx) / p

这就是方程的通解。