一阶线性微分方程 dy/dx + py + q = 0 的解法

我们可以使用常数变易法来解决这个方程。我们假设 y = u(x)e ^ {-∫pdx}，其中 u(x) 是未知函数。首先，我们需要计算 ∫pdx。

如果 dy / dx + py + q = 0，则 dy / dx = -py-q。

因此，我们有：

dy / dx = -py - q

将 y = u(x)e ^ {-∫pdx} 代入上述方程式中：

du / dx e ^ {-∫pdx} + u e ^ {-∫pdx} (-p) + u e ^ {-∫pdx} p + q = 0

化简：

du / dx e ^ {-∫pdx} = -q

du / dx = -qe ^ {∫ p dx}

现在我们可以积分两侧：

∫ du / dx dx = ∫ -qe ^ {∫ p dx} dx

u = -∫qe ^ {∫ p dx} dx + C

其中 C 是常数。

因此，我们得到解 y = u(x)e ^ {-∫pdx}：

y = e ^ {∫ p dx} (-∫qe ^ {∫ p dx} dx + C)

这就是解方程 dy / dx + py + q = 0 的一般解。