一阶线性微分方程 dy/dx + py + q = 0 的解法

这是一阶线性微分方程，可以使用常数变易法解。

设通解为 y = u(x) * v(x)，其中 u(x) 为待定函数，v(x) 为已知函数。

将 y = u(x) * v(x) 代入方程得：

u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x) + p * u(x) * v(x) + q = 0

移项得：

u'(x) * v(x) + u(x) * (v'(x) + p * v(x)) = -q

由于 v(x) 是已知函数，因此 v'(x) + p * v(x) 可以看作一个整体，记作 w(x)，则上式变为：

u'(x) * v(x) + u(x) * w(x) = -q

对该方程两边同时乘以 e^(∫w(x)dx)，得：

u'(x) * e^(∫w(x)dx) * v(x) + u(x) * e^(∫w(x)dx) * w(x) = -q * e^(∫w(x)dx)

左边可以看作 (u(x) * e^(∫w(x)dx))' 的导数，因此可以继续化简：

(u(x) * e^(∫w(x)dx))' = -q * e^(∫w(x)dx)

对上式两边同时积分，得：

u(x) * e^(∫w(x)dx) = C - ∫q * e^(∫w(x)dx)dx

其中 C 为常数。

因此，通解为：

y = u(x) * v(x) = [C - ∫q * e^(∫p dx)dx] * e^(-∫p dx)

其中，∫q * e^(∫p dx)dx 和 ∫p dx 可以通过代数方法求解。