一阶线性微分方程 dy/dx + py + q = 0 的解法

这是一阶线性微分方程，可以用常数变易法来解。

首先将方程化为标准形式：dy/dx=-py-q。

然后，设y=e^(kx)，求出k的值：

dy/dx=ke^(kx)

将y=e^(kx)代入原方程得：

ke^(kx)+pe^(kx)+q=0

移项得：

ke^(kx)=-pe^(kx)-q

两边同时除以e^(kx)，得到：

k=-p-qe^(-kx)

这是一个关于k的方程，我们需要解出k的值。由于该方程无法直接解出k，我们可以采用常数变易法。

设k=k(x)，则有：

dk/dx=-p-qe^(-kx)

将上式移项，得到：

dk/(p+qe^(-kx))=-dx

对上式两边同时积分，得到：

∫dk/(p+qe^(-kx))=-∫dx

左边的积分可以通过换元法化为：

∫dk/[(q/p)e^(kx)+1]=-x+C

其中C为积分常数。

将上式两边同时乘以(q/p)，得到：

∫dq/(qe^(kx)+p)=-qx+(q/p)C

左边的积分可以通过分式分解化为：

(1/q)∫dq/(e^(kx)+(p/q))

令u=e^(kx)，则du/dx=ke^(kx)，即k=(1/u)du/dx。代入上式得到：

(1/q)∫du/(u+(p/q))=-∫(1/u)du

对上式两边同时积分，得到：

(1/q)ln|u+(p/q)|=-ln|u|+D

其中D为积分常数。

将u=e^(kx)代入上式得到：

(1/q)ln|e^(kx)+(p/q)|=-kx+D

即有：

k=-ln|e^(kx)+(p/q)|/q+C

将k代入y=e^(kx)中，得到：

y=e^(∫kdx)

即有：

y=e^(-∫ln|e^(kx)+(p/q)|/q dx+C)

这就是方程的通解。