一阶线性微分方程 dy/dx + py + q = 0 的解法 - 常数变易法

这是一个一阶线性微分方程，可以用常数变易法来求解。

首先，将方程变形为 dy/dx = -py - q。

设 y = uv，其中 u 和 v 是关于 x 的函数，则：

dy/dx = u(dv/dx) + v(du/dx)

将 y = uv 代入原方程中得：

u(dv/dx) + v(du/dx) + p(uv) + q = 0

整理得：

v(du/dx) + u(dv/dx) + puv = -q

移项得：

v(du/dx) = -u(dv/dx) - puv + q

将上式两边同时除以 u^2 得：

(v/u)(du/dx) = -d(v/u)/dx - p(v/u) + q/u^2

设 z = v/u，则上式变为：

dz/dx = -pz + q/u^2

这是一个一阶非齐次线性微分方程，可以用常数变易法来求解。设 z = A/u，则 dz/dx = -A/u^2(du/dx)，代入上式得：

-A/u^2(du/dx) = -pA/u + q/u^2

化简得：

du/dx + (p/u)u = -q/A

这是一个一阶齐次线性微分方程，可以用常数变易法来求解。设 u = e^(int(p/u)du)，则：

du/dx + (p/u)u = d/dx(e^(int(p/u)du))

令 e^(int(p/u)du) = v，则上式变为：

dv/dx = d/dx(e^(int(p/u)du)) = e^(int(p/u)du)(du/dx) + (p/u)e^(int(p/u)du)v

代入原方程得：

v(-q/A) = d/dx(e^(int(p/u)du))

两边同时积分得：

int(v, -q/A)dx = int(d/dx(e^(int(p/u)du)))dx

化简得：

v = -A/q(e^(int(p/u)du) + C)

代回 u = v/z 得：

u = v/z = -Az/q(e^(int(p/u)du) + C)

最终解为：

y = uv = -A(e^(int(p/u)du) + C)/q