一阶线性微分方程 dy/dx+py+q=0 的解法

这是一条一阶线性微分方程，可以用常数变易法求解。/n/n首先将方程写成标准形式：/n/n$$/frac{dy}{dx}+py+q=0$$ /n/n令$y=uv$，则有：/n/n$$/frac{dy}{dx}=u/frac{dv}{dx}+v/frac{du}{dx}$$ /n/n将$y=uv$代入原方程得：/n/n$$u/frac{dv}{dx}+v/frac{du}{dx}+puv+q=0$$ /n/n移项可得：/n/n$$/frac{du}{dx}+/left(pu/right)v=-/frac{q}{v}$$ /n/n这是一个一阶线性常微分方程，可以用常数变易法求解。/n/n我们假设$v=e^{//int pdx}$为方程的一个通解，即$v$满足$/frac{dv}{dx}+pv=0$。/n/n令$u=c(x)v$，其中$c(x)$为待定的函数，将其代入原方程可得：/n/n$$c(x)/frac{dv}{dx}+v/frac{dc}{dx}+pv/cdot c(x)+q=0$$ /n/n将$/frac{dv}{dx}=-pv$代入上式可得：/n/n$$v/frac{dc}{dx}+q=0$$ /n/n解得：/n/n$$c(x)=-/int/frac{q}{v}dx$$ /n/n因此，方程的通解为：/n/n$$y=uv=e^{//int pdx}/left(c-/int/frac{q}{e^{//int pdx}}dx//right)$$ /n/n其中$c$为任意常数。