一阶常微分方程 dy/dx+py+qx=0 解法 - 常数变易法

这是一阶常微分方程，可以使用常数变易法求解。

首先求出齐次方程dy/dx+py=0的通解：

dy/dx+py=0

dy/y=-pdx

ln|y|=-∫pdx

ln|y|=−px+C

y=e^(-px+C)=Ce^(-px)

其中C为任意常数。

然后我们假设原方程的通解为y=uv，其中u和v均为x的函数。

将y=uv代入原方程：

du/dx*v+u(dv/dx+pv)+q(uv)=0

移项得到：

vdu/dx+udv/dx+(u'v+puv)=0

其中u'表示du/dx。

根据常数变易法，我们令v=e^(∫pdx)，则有：

v'=pe^(∫pdx)

将v代入上式中，得到：

u' e^(∫pdx) = -qe^(∫pdx)

即

u' = -q

对u积分，得到：

u = -qx + D

其中D为任意常数。

因此，原方程的通解为：

y = uv = (-qx + D)e^(∫pdx)

其中，D和C均为任意常数。