一阶线性微分方程 dy/dx + py + qx = 0 的解法

这是一阶线性微分方程，可以用常数变易法解决。

首先将方程化为标准形式：

dy/dx = -py - qx

将常数变易法应用于y，设y = uv，其中u和v是x的函数。

则dy/dx = u'v + uv'

将y = uv代入原方程得到：

u'v + uv' + puv + quv = 0

将v移项并除以uv得到：

u'/u + v'/v + p + qv/u = 0

由于u和v是x的函数，因此左侧是一个关于x的函数，右侧是一个常数。

设右侧的常数为-k，得到两个方程：

u'/u + qv/u = -p - k

v'/v + p = kv

解这两个方程，得到：

u = Ce^(-qx) / (1 + ke^(-px))

v = De^(kx - px^2/2)

其中C和D是任意常数。

因此，原方程的通解为：

y = uv = CDe^(kx - px^2/2) / (1 + ke^(-px))

其中C和D是任意常数，k由右侧的常数-p-qv/u确定。