一阶线性常微分方程解法 - 常数变易法

这是一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法求解。

首先，我们将方程写成标准形式：

dy/dx + p(x)y = q(x)

其中p(x)和q(x)都是已知函数。

接下来，我们定义一个积分因子μ(x)：

μ(x) = e^(∫p(x)dx)

将μ(x)乘到方程的两边：

e^(∫p(x)dx)dy/dx + e^(∫p(x)dx)p(x)y = e^(∫p(x)dx)q(x)

注意到左边的乘积规律：

(d/dx)(e^(∫p(x)dx)y) = e^(∫p(x)dx)dy/dx + e^(∫p(x)dx)p(x)y

因此，我们可以将方程写成：

(d/dx)(e^(∫p(x)dx)y) = e^(∫p(x)dx)q(x)

现在我们对等式两边进行积分：

∫(d/dx)(e^(∫p(x)dx)y)dx = ∫e^(∫p(x)dx)q(x)dx

e^(∫p(x)dx)y = ∫e^(∫p(x)dx)q(x)dx + C

这里C是常数。最后，我们将y解出来：

y = e^(-∫p(x)dx) * (∫e^(∫p(x)dx)q(x)dx + C)

这就是一阶线性常微分方程的通解。