四阶行列式按列展开公式及解析

四阶行列式按列展开公式

对于一个四阶方阵A，我们可以使用以下公式按第一列展开其行列式：

|A| = 2 * (-1)^(1+1) * |A₁₁| + 4 * (-1)^(2+1) * |A₂₁| + 1 * (-1)^(3+1) * |A₃₁| + 3 * (-1)^(4+1) * |A₄₁|

其中：

• |A| 表示方阵 A 的行列式
• |A₁₁|、|A₂₁|、|A₃₁| 和 |A₄₁| 分别表示去掉第一列和第1,2,3,4行后剩下的 3x3 方阵的行列式，也称为余子式。
• (-1)^(i+j) 是一个符号因子，用于交替改变项的正负号，其中 i 表示行号，j 表示列号。

公式解析

该公式的本质是将一个四阶行列式的计算分解为四个三阶行列式的计算。每个三阶行列式再按同样的方式递归展开，直到得到二阶行列式，最终可以得到一个关于矩阵元素的表达式。

示例

假设有如下四阶方阵A：

A = 
[
2  4  1  3,
1  2  3  4,
4  1  2  3,
3  4  1  2
]

根据上述公式，我们可以按第一列展开A的行列式：

|A| = 2 * (-1)^(1+1) * |A₁₁| + 1 * (-1)^(2+1) * |A₂₁| + 4 * (-1)^(3+1) * |A₃₁| + 3 * (-1)^(4+1) * |A₄₁|

其中：

|A₁₁| = |
2  3  4,
1  2  3,
4  1  2
| 

|A₂₁| = |
4  1  3,
1  2  3,
4  1  2
|

|A₃₁| = |
4  1  3,
2  3  4,
4  1  2
|

|A₄₁| = |
4  1  3,
2  3  4,
1  2  3
|

通过计算上述四个三阶行列式，然后代入公式，即可得到|A|的值。

总结

行列式按列展开公式提供了一种计算高阶行列式的有效方法。通过递归地将高阶行列式分解为低阶行列式，我们可以最终得到一个关于矩阵元素的表达式。需要注意的是，在实际应用中，选择合适的行或列进行展开可以简化计算过程。