不定积分计算题解：$\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} dx$

要求解这个积分，我们需要运用一些基本积分公式和技巧。下面是我详细的解题过程：

首先，让我们把被积函数中的 $x^3$ 用代换的方法消去。令 $u=1+x^2$，则 $du=2x dx$。将 $x^3$ 用 $u$ 表示后，原积分变为：

$$\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} dx = \frac{1}{2}\int \frac{u-1}{\sqrt{u}} du$$

接下来，我们可以将被积函数拆分成两个部分，并分别对它们进行求积分。计算第一个部分的积分，有：

$$\int \frac{u}{\sqrt{u}} du = 2\sqrt{u} + C_1$$

其中，$C_1$ 是常数。对于第二个部分的积分，使用代换 $v = \sqrt{u}$，则 $dv=\frac{1}{2\sqrt{u}}du$。将 $u-1$ 用 $v$ 表示后，原积分变为：

$$\int \frac{u-1}{\sqrt{u}} du = \int \frac{v^2-1}{v} dv$$

对上式进行分解，得到：

$$\int \frac{v^2-1}{v} dv = \int \frac{v^2}{v} dv - \int \frac{1}{v} dv = \frac{1}{2}v^2 - \ln |v| + C_2$$

其中，$C_2$ 是常数。将 $v$ 用 $u$ 替换后，得到：

$$\int \frac{u-1}{\sqrt{u}} du = \frac{1}{2}(1+x^2) - \ln |\sqrt{1+x^2}| + C_2$$

将两个部分的积分结果相加，得到最终结果：

$$\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} dx = \frac{1}{2}\int \frac{u-1}{\sqrt{u}} du = \frac{1}{2}(1+x^2)\sqrt{1+x^2} - \frac{1}{2}\ln |\sqrt{1+x^2}| + C$$

其中，$C$ 是常数。

至此，我们成功地计算出了 $\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} dx$ 的积分结果。