利用对称性计算二重积分 - 区域D: x^2 + y^2 ≤ 8 上的积分

区域D的图形为一个半径为2的圆及其内部区域。根据对称性，可以将积分区域D分为四个相等的部分，并在其中一个部分上进行积分，最后乘以4即可得到整个区域D的积分结果。

选取一个四分之一的区域D1，其边界为圆心角为π/2的圆弧以及x轴和y轴。由于被积函数为(x^2 + y^2 + 2x + 3)，可以看出它关于y轴为奇函数，即f(-x, y) = -f(x, y)，并且关于x轴为偶函数，即f(x, -y) = f(x, y)。

根据被积函数的奇偶性，可以将积分区域D1进行变换，变为关于y轴对称的区域D2，使得被积函数在D2上的积分结果与D1上的积分结果相等。同时，由于被积函数在D2上的积分结果与D3和D4上的积分结果也相等，因此可以得到：

∬D (x^2 + y^2 + 2x + 3) dxdy = 4∬D1 (x^2 + y^2 + 2x + 3) dxdy

将区域D1进行变换，变为关于y轴对称的区域D2后，x的取值范围由[0, 2]变为[-2, 0]。因此，可以进行变量替换，令u = -x，得到：

∬D1 (x^2 + y^2 + 2x + 3) dxdy = ∬D2 ((-u)^2 + y^2 - 2u + 3) dudv = ∬D2 (u^2 + y^2 - 2u + 3) dudv

根据区域D2的图形特点，可以将积分区域D2表示为极坐标下的积分区域，其中r的取值范围为[0, 2]，θ的取值范围为[π/2, 0]。进行变量替换，令x = rcosθ，y = rsinθ，得到：

∬D2 (u^2 + y^2 - 2u + 3) dudv = ∬D2 (r^2cos^2θ + r^2sin^2θ - 2ucosθ + 3) rdrdθ

化简上式，得到：

∬D (x^2 + y^2 + 2x + 3) dxdy = 4∬D1 (x^2 + y^2 + 2x + 3) dxdy = 4∬D2 (u^2 + y^2 - 2u + 3) dudv = 4∬D2 (r^2 - 2ucosθ + 3) rdrdθ

根据对称性，可以将积分区域D2的积分结果乘以4，得到整个区域D的积分结果：

∬D (x^2 + y^2 + 2x + 3) dxdy = 4∬D2 (r^2 - 2ucosθ + 3) rdrdθ

再对积分区域D2进行变量替换，令v = rsinθ，得到：

∬D2 (r^2 - 2ucosθ + 3) rdrdθ = ∬D2 (r^3 - 2v + r^2 + 3) rdrdθ

将变量替换后的积分区域D2表示为极坐标下的积分区域，其中r的取值范围为[0, 2]，θ的取值范围为[π/2, 0]。进行变量替换，令x = rcosθ，y = rsinθ，得到：

∬D2 (r^3 - 2v + r^2 + 3) rdrdθ = ∬D2 ((x^2 + y^2)^(3/2) - 2y + (x^2 + y^2) + 3) dx dy

化简上式，得到：

∬D (x^2 + y^2 + 2x + 3) dxdy = 4∬D2 (r^2 - 2ucosθ + 3) rdrdθ = ∬D2 ((x^2 + y^2)^(3/2) - 2y + (x^2 + y^2) + 3) dx dy

根据极坐标下的积分公式，可以得到：

∬D (x^2 + y^2 + 2x + 3) dxdy = 4∫(π/2)^0 ∫0^2 ((r^2)^(3/2) - 2(rsinθ) + (r^2) + 3) rdrdθ

对r进行积分，得到：

∫(π/2)^0 ∫0^2 ((r^2)^(3/2) - 2(rsinθ) + (r^2) + 3) rdrdθ = ∫(π/2)^0 [1/5r^5 - 2/3r^3 + 1/3r^4 + 3r]_0^2dθ

化简上式，得到：

∫(π/2)^0 [1/52^5 - 2/32^3 + 1/32^4 + 3(2) - 0]dθ = ∫(π/2)^0 [32/5 - 16/3 + 8/3 + 6]dθ

计算上式的积分，得到：

∫(π/2)^0 [32/5 - 16/3 + 8/3 + 6]dθ = [(32/5 - 16/3 + 8/3 + 6)θ]_(π/2)^0

化简上式，得到：

[(32/5 - 16/3 + 8/3 + 6)θ]_(π/2)^0 = (32/5 - 16/3 + 8/3 + 6)(π/2 - 0)

计算上式，得到：

(32/5 - 16/3 + 8/3 + 6)(π/2 - 0) = (32/5 - 16/3 + 8/3 + 6)π/2

化简上式，得到：

(32/5 - 16/3 + 8/3 + 6)π/2 = (32/5 · 3/3 - 16/3 + 8/3 + 6)π/2

计算上式，得到：

(32/5 · 3/3 - 16/3 + 8/3 + 6)π/2 = (96/15 - 16/3 + 8/3 + 6)π/2

化简上式，得到：

(96/15 - 16/3 + 8/3 + 6)π/2 = (96/15 - 16/3 + 8/3 + 18/3)π/2

计算上式，得到：

(96/15 - 16/3 + 8/3 + 18/3)π/2 = (96/15 + 2/3)π/2

化简上式，得到：

(96/15 + 2/3)π/2 = (32/5 + 2/3)π/2

计算上式，得到：

(32/5 + 2/3)π/2 = (96/15 + 2/3)π/2

化简上式，得到：

(96/15 + 2/3)π/2 = (32/5 + 2/3)π/2 = 102/15π

综上所述，∬D (x^2 + y^2 + 2x + 3) dxdy 的计算结果为 102/15π。