利用对称性和奇偶性计算二重积分 - 例题解析

首先，我们可以利用区域D的对称性来简化积分的计算。由于区域D关于y轴对称，所以可以将积分区域D分为两个部分，即D1和D2，其中D1位于y轴的右侧，D2位于y轴的左侧。然后，我们只需要计算D1的积分结果，再将结果乘以2即可得到整个区域D的积分结果。//n//n接下来，我们观察被积函数//(x^2+y^2+2x+3//)在区域D上的奇偶性。将被积函数展开，得到//(x^2+2x//)+(y^2+3//)。我们可以看出，第一项//(x^2+2x//)是关于x的奇函数，第二项//(y^2+3//)是常数，所以被积函数在区域D上是关于x的奇函数。由于D关于y轴对称，所以被积函数在区域D上也是关于y的奇函数。//n//n根据对称性和奇偶性，我们可以得到以下结论：//n//n//$//iint//limits_{D}^{}(x^2+y^2+2x+3)dxdy = 2//iint//limits_{D_1}^{}(x^2+y^2+2x+3)dxdy$//n//n进一步，我们可以将被积函数展开，得到//(2//iint//limits_{D_1}^{}(x^2+y^2+2x+3)dxdy = 2//iint//limits_{D_1}^{}(x^2+2x)dxdy + 2//iint//limits_{D_1}^{}(y^2+3)dxdy//) //n//n由于第一项//(x^2+2x//)是关于x的奇函数，第二项//(y^2+3//)是常数，根据对称性和奇偶性，我们可以得到以下结论：//n//n//(2//iint//limits_{D_1}^{}(x^2+2x)dxdy = 0//) //n//n//(2//iint//limits_{D_1}^{}(y^2+3)dxdy = 2//iint//limits_{D_1}^{}(y^2+3)dxdy//) //n//n现在，我们只需要计算第二项//(2//iint//limits_{D_1}^{}(y^2+3)dxdy//)。根据题目给出的区域D:x^2+y^2≤8，可以将D1的范围限定为//(0 //leq x //leq //sqrt{8-y^2}//)。然后，将第二项展开，得到//(2//iint//limits_{D_1}^{}(y^2+3)dxdy = 2//int_{-2//sqrt{2}}^{2//sqrt{2}}//int_{0}^{//sqrt{8-y^2}}(y^2+3)dxdy//)。//n//n对第二项进行积分计算，得到//(2//int_{-2//sqrt{2}}^{2//sqrt{2}}//int_{0}^{//sqrt{8-y^2}}(y^2+3)dxdy = 2//int_{-2//sqrt{2}}^{2//sqrt{2}}(y^2+3)//sqrt{8-y^2}dy//)。//n//n对上述积分进行计算，最终得到//(2//int_{-2//sqrt{2}}^{2//sqrt{2}}(y^2+3)//sqrt{8-y^2}dy = //frac{80}{3}//pi//)。//n//n根据前面的推导，整个区域D的积分结果为//(2//iint//limits_{D_1}^{}(x^2+y^2+2x+3)dxdy = 2//iint//limits_{D_1}^{}(x^2+2x)dxdy + 2//iint//limits_{D_1}^{}(y^2+3)dxdy = 0 + //frac{80}{3}//pi = //frac{80}{3}//pi//)。//n//n所以，计算结果是//(//frac{80}{3}//pi//)，选项D。