求解定积分 ∫[1,0]2x√(1-x)dx

我们可以使用换元法来求解这个积分。

令 u = 1 - x，那么 du = -dx。

当 x = 0 时，u = 1 - 0 = 1。 当 x = 1 时，u = 1 - 1 = 0。

所以原积分变为： ∫[1,0]2x√(1-x)dx = -∫[1,0]2(1-u)√u(-du) = 2∫0,1√u du

展开并合并同类项： = 2∫[0,1](√u - u√u) du = 2[2/3u^(3/2) - 1/2u^(5/2)]|[0,1] = 2[(2/3(1)^(3/2) - 1/2(1)^(5/2)) - (2/3(0)^(3/2) - 1/2(0)^(5/2))] = 2[(2/3 - 1/2) - (0 - 0)] = 2(4/6 - 3/6) = 2/6 = 1/3

所以，∫[1,0]2x√(1-x)dx = 1/3。