定积分计算：∫[0,1]2x√(1-x)dx 的值

要求∫[0,1]2x√(1-x)dx的值。

首先，我们可以对被积函数进行分解： 2x√(1-x) = 2x(1-x)^(1/2)

接下来，我们将使用替换法来求解这个积分。令u = 1-x，则du = -dx。当x = 0时，u = 1，当x = 1时，u = 0。

将x和dx用u来表示，可以得到： x = 1 - u dx = -du

将这些代入原来的被积函数中： 2x√(1-x)dx = 2(1 - u)√u(-du) = -2(1 - u)√u du

现在，积分变为∫[-1,0]-2(1 - u)√u du。

对于u^(1/2)，我们可以使用幂函数的积分法则来求解。将幂函数的积分法则应用于√u，我们可以得到： ∫u^(1/2) du = (2/3)u^(3/2)

将这个结果代入原来的积分中： ∫[-1,0]-2(1 - u)√u du = -2∫[-1,0](1 - u)√u du = -2[(-2/3)u^(3/2) + (2/5)u^(5/2)]|[-1,0] = -2[(0 - (-2/3)(-1)^(3/2) + (2/5)(-1)^(5/2)) - ((-2/3)(0)^(3/2) + (2/5)(0)^(5/2))] = -2[(2/3) - (2/5)] = -2[10/15 - 6/15] = -2[4/15] = -8/15

所以，∫[0,1]2x√(1-x)dx的值为-8/15。