RSA私钥计算：公钥(7, 55)的私钥求解

根据RSA公钥密码体制，私钥d满足以下条件：\n\nd * e \u2261 1 (mod \u03C6(n))\n\n其中\u03C6(n)表示欧拉函数，对于素数p和q的乘积n，\u03C6(n) = (p-1)*(q-1)。\n\n在本题中，n = 55，e = 7。\n\n首先，我们需要计算\u03C6(n)：\n\nn = 55 = 5 * 11\n\u03C6(n) = (5-1) * (11-1) = 40\n\n然后，我们需要找到满足条件d * e \u2261 1 (mod \u03C6(n))的d。\n\n使用扩展欧几里得算法，我们可以找到d的值。\n\n根据扩展欧几里得算法的一般形式：\n\nax + by = gcd(a, b)\n\n对于d * e \u2261 1 (mod \u03C6(n))，可以转化为：\n\n7d + 40y = 1\n\n使用扩展欧几里得算法，我们可以找到满足上述等式的整数解。\n\n首先，我们计算7和40的最大公约数gcd(7, 40)：\n\n40 = 5 * 7 + 5\n\n7 = 1 * 5 + 2\n\n5 = 2 * 2 + 1\n\n2 = 2 * 1 + 0\n\n根据最后一行的等式，我们可以得到gcd(7, 40) = 1。\n\n然后，我们可以使用扩展欧几里得算法，从最后一行开始向上逐步计算x和y的值。\n\n1 = 5 - 2 * 2\n\n = 5 - (7 - 5) * 2\n\n = 3 * 5 - 2 * 7\n\n = 3 * (40 - 5 * 7) - 2 * 7\n\n = 3 * 40 - 17 * 7\n\n因此，我们得到了一组满足7d + 40y = 1的整数解，其中d = -17。\n\n然而，根据RSA的定义，私钥d应该是一个正整数。因此，我们需要将d转化为正整数。\n\n由于d \u2261 -17 (mod \u03C6(n))，因此d = \u03C6(n) - 17。\n\n计算得到：\n\nd = 40 - 17 = 23\n\n因此，私钥d = 23。