证明：任意d阶n维张量秩为一集合等于其模i展开秩为一集合

"证明：任意d阶n维张量秩为一集合等于其模i展开秩为一集合"\n\n要证明对于任意d阶n维张量，张量秩为一构成的集合等于该张量任意模i展开秩为一构成的集合，我们需要证明两个方向的包含关系。\n\n首先，假设一个d阶n维张量的秩为一，即该张量可以表示为一个秩为一的矩阵乘法形式。假设该张量的维度为$d_1 \times d_2 \times \ldots \times d_n$，则可以表示为以下形式：\n\n[T = u_1 \otimes u_2 \otimes \ldots \otimes u_n]\n\n其中，$u_i$是一个$d_i$维的向量。我们可以将上式展开为模i展开形式：\n\n[T = \sum_{j_1=1}^{d_1} \sum_{j_2=1}^{d_2} \ldots \sum_{j_n=1}^{d_n} (u_1){j_1} (u_2){j_2} \ldots (u_n){j_n} e{j_1 j_2 \ldots j_n}]\n\n其中，$(u_i){j_i}$表示向量$u_i$的第$j_i$个元素，$e{j_1 j_2 \ldots j_n}$表示模i展开的系数。由于张量的秩为一，只有一个非零的系数，即当$j_1 = j_2 = \ldots = j_n = 1$时，$e_{j_1 j_2 \ldots j_n} = 1$，其他情况下$e_{j_1 j_2 \ldots j_n} = 0$。因此，对于任意模i展开，只有一个非零系数，即展开秩为一。\n\n接下来，我们证明对于任意模i展开秩为一的张量，其秩也为一。假设一个张量的模i展开秩为一，即对于任意模i展开，只有一个非零系数。我们可以将该张量表示为以下形式：\n\n[T = \sum_{j_1=1}^{d_1} \sum_{j_2=1}^{d_2} \ldots \sum_{j_n=1}^{d_n} c_{j_1 j_2 \ldots j_n} e_{j_1 j_2 \ldots j_n}]\n\n其中，$c_{j_1 j_2 \ldots j_n}$表示展开系数，$e_{j_1 j_2 \ldots j_n}$表示模i展开的基向量。由于张量的模i展开秩为一，只有一个非零系数，即$c_{j_1 j_2 \ldots j_n}$。因此，该张量可以表示为一个秩为一的矩阵乘法形式，即张量秩为一。\n\n综上所述，对于任意d阶n维张量，张量秩为一构成的集合等于该张量任意模i展开秩为一构成的集合。