MATLAB 分段二次 Hermite 插值实现及代码示例

理解了你的要求，以下是使用 MATLAB 编写的代码，根据你的要求进行分段二次插值，并绘制出 f(x) 的近似图像：

% 定义插值函数
f = @(x) 1./(1+x.^2);

% 定义插值区间和节点数量
a = -5; % 插值区间左端点
b = 5;  % 插值区间右端点
n = 15; % 节点数量

% 生成等距节点
x = linspace(a, b, n);

% 计算节点处的函数值和导数值
y = f(x);
dy = (f(x+eps)-f(x-eps))/(2*eps); % 使用中心差分近似计算导数

% 使用 Hermite 插值进行分段二次插值
xx = linspace(a, b, 1000); % 更细的插值点用于绘图
yy = zeros(size(xx));

for i = 1:n-1
    % 计算插值多项式系数
    h = x(i+1) - x(i);
    p = (xx - x(i)) / h;
    m0 = (1 - 2*p) .* (1 - p).^2;
    m1 = h * (xx - x(i)) .* (1 - p).^2;
    m2 = p.^2 .* (3 - 2*p);
    m3 = h * (xx - x(i)) .* p.^2;
    
    % 计算插值结果
    yy((xx >= x(i)) & (xx <= x(i+1))) = yy((xx >= x(i)) & (xx <= x(i+1))) ...
        + y(i)*m0((xx >= x(i)) & (xx <= x(i+1))) + y(i+1)*m2((xx >= x(i)) & (xx <= x(i+1))) ...
        + dy(i)*m1((xx >= x(i)) & (xx <= x(i+1))) + dy(i+1)*m3((xx >= x(i)) & (xx <= x(i+1)));
end

% 绘制图像
plot(xx, yy, 'b-', x, y, 'ro');
legend('Hermite 分段二次插值', '原始函数');
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
title('f(x) 的 Hermite 分段二次插值近似');
grid on;

这段代码将在给定的插值区间 [-5,5] 上进行分段二次 Hermite 插值，并绘制出 f(x) 的近似图像。蓝色曲线表示插值结果，红色点表示原始函数在等距节点处的函数值。

请确保你已经安装了 MATLAB，并将以上代码粘贴到 MATLAB 编辑器中运行。