微分方程 xy'-ylny=0 的通解

将微分方程化为标准形式：

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x\ln y} $$

令$u=\ln y$，则$y=e^u$，且$\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}e^u$。代入原微分方程得：

$$ \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} $$

两边同时积分得：

$$u = \ln|x| + C$$

代回$y=e^u$得到通解：

$$y = Cx^{\frac{1}{\ln x}}$$

其中$C$为任意常数。