微分方程 xy' - ln(y) = 0 的通解

首先将微分方程化为标准形式：$ \frac{dy}{dx} = \frac{\ln y}{x} $

然后分离变量得：$ \frac{dy}{\ln y} = \frac{dx}{x} $

对两边同时积分得：$ \ln|\ln y| = \ln|x| + C $

移项并取指数得：$ |\ln y| = e^{(\ln|x| + C)} = |x| \cdot e^C $

因为常数 $C$ 可以取任意值，所以设 $C_1 = e^C$，则通解为：

$ |\ln y| = C_1|x| $

当 $y > 0$ 时，$ \ln y$ 为正，解为 $ \ln y = C_1x$，即 $y = e^{C_1x}$

当 $y < 0$ 时，$ \ln y$ 为负，解为 $ \ln(-y) = C_1x$，即 $y = -e^{C_1x}$

综上所述，微分方程的通解为 $y = \pm e^{C_1x}|x|$，其中 $C_1$ 为任意常数。