容斥原理解方程x1+x2+x3+x4=17整数解个数 - 限制条件x1≤3

首先考虑不考虑限制条件x1≤3时，方程x1+x2+x3+x4=17的整数解个数为：/n$${16+4-1 //choose 4-1}={19 //choose 3}=969$$/n然后考虑限制条件x1≤3，设A为不考虑限制条件时的解集，B为x1>3时的解集。则所求的整数解个数为：/n$$|A|-|B|$$ /n其中，|A|为不考虑限制条件时的解数，已经算出为969。而|B|则可以通过容斥原理求得：/n$$|B|=|/{x_1>3/}|=|/{x_1'/}|=|/{x_1''/}|=|/{x_1'''/}|$$ /n其中，$/{x_1'>3/}$表示x1'>3的方程x1'+x2+x3+x4=17的整数解集，$/{x_1''/}$表示x1''>3的方程(x1''-4)+x2+x3+x4=17的整数解集，$/{x_1'''/}$表示x1'''>3的方程(x1'''-8)+x2+x3+x4=17的整数解集。这三个方程的解集个数分别为：/n$${12+4-1 //choose 4-1}={15 //choose 3}=455$$/n$${8+4-1 //choose 4-1}={11 //choose 3}=165$$/n$${4+4-1 //choose 4-1}={7 //choose 3}=35$$/n由于这三个方程的解集互不相交，因此有：/n$$|B|=455+165+35=655$$/n综上所述，所求的整数解个数为：/n$$|A|-|B|=969-655=//boxed{314}$