命题逻辑真值表判定量化命题真假

命题函数真值表判定量化命题真假

已知命题函数 P(x, y, z)，其中 x，y，z 的论域是 {1, 2}，除了命题 P(1, 1, 1)、P(1, 1, 2)、P(2, 1, 1)、P(2, 2, 2) 为真以外，其余全为假。那么，下列量化命题中，哪个的真值为真？

A. ∀x∃y∀z P(x, y, z) B. ∀y∃x∀z P(x, y, z) C. ∃y∀x∃z P(x, y, z) D. ∃z∀x∀y P(x, y, z)

解析：

根据题意，我们可以列出命题函数 P(x, y, z) 的真值表：

| x | y | z | P(x, y, z) | |---|---|---|---| | 1 | 1 | 1 | 真 | | 1 | 1 | 2 | 真 | | 1 | 2 | 1 | 假 | | 1 | 2 | 2 | 假 | | 2 | 1 | 1 | 真 | | 2 | 1 | 2 | 假 | | 2 | 2 | 1 | 假 | | 2 | 2 | 2 | 真 |

分析各个量化命题：

A. ∀x∃y∀z P(x, y, z)
当 x 为 1 时，y 为 2 时，z 为 1 或 2 时，P(x, y, z) 都为假；当 x 为 2 时，y 为 1 时，z 为 2 时，P(x, y, z) 都为假。因此，该命题为假。

B. ∀y∃x∀z P(x, y, z)
当 y 为 1 时，x 为 2 时，z 为 1 或 2 时，P(x, y, z) 都为真；当 y 为 2 时，x 为 2 时，z 为 1 时，P(x, y, z) 为假，z 为 2 时，P(x, y, z) 为真。因此，该命题为假。

C. ∃y∀x∃z P(x, y, z)
当 y 为 1 时，x 为 1 时，z 为 1 或 2 时，P(x, y, z) 为真，x 为 2 时，z 为 1 时，P(x, y, z) 为假，z 为 2 时，P(x, y, z) 为真；当 y 为 2 时，x 为 1 时，z 为 1 时，P(x, y, z) 为假，z 为 2 时，P(x, y, z) 为真，x 为 2 时，z 为 1 或 2 时，P(x, y, z) 都为假。因此，该命题为真。

D. ∃z∀x∀y P(x, y, z)
当 z 为 1 时，x 为 1 或 2 时，y 为 1 或 2 时，P(x, y, z) 都为假；当 z 为 2 时，x 为 1 或 2 时，y 为 1 时，P(x, y, z) 为假，y 为 2 时，P(x, y, z) 为真。因此，该命题为假。

答案：C。

本例展示了如何利用命题函数真值表来判定量化命题的真假。在分析量化命题时，要仔细分析每个量词的约束范围，并根据真值表确定命题的真假性。