氢原子自发跃迁与核反应的能量计算

(8分) (1) 根据波尔模型，氢原子的能级公式为 $E_n = -\frac{13.6 \text{eV}}{n^2}$，其中 $n$ 为能级数。因此 $n = 4$ 时，能级为 $E_4 = -3.4 \text{eV}$。自发跃迁时，电子从高能级跃迁到低能级，因此辐射出的光子能量为 $E = |E_4 - E_1| = 10.2 \text{eV}$。光电管的阈值电压为该光子能量对应的电压，即 $V_0 = \frac{E}{e} = 10.2 \text{V}$。在此阈值电压下，光电管的光电流为 $I = \frac{V_0}{R} = 0.68 \text{mA}$。

(2) 根据爱因斯坦的光电效应公式，光电流与光子数成正比，因此光子数为 $N = \frac{I}{e} = 4.25 \times 10^{15}$。而每秒钟辐射出的光子数为 $N_0 = \frac{1}{\tau} \approx 1.93 \times 10^{15}$，其中 $\tau$ 为氢原子 $n = 4$ 能级的寿命。因此，自发辐射的强度为 $I_0 = eN_0h\nu = 1.3 \times 10^{-10} \text{W/m}^2$，其中 $\nu$ 为光子的频率，$h$ 为普朗克常数。

(8分) (1) 核反应方程为 $^7 \text{Li} + \text{n} \rightarrow \text{^3H} + \text{^4He}$，质量亏损为 $\Delta m = (m_1 + m_2 - m_3 - m_4) - m_0$，其中 $m_0$ 为反应前原子核的质量，$m_i$ 为反应后各核的质量。代入数据得到 $\Delta m = 0.018 \text{u} \times c^2 = 3.2 \times 10^{-12} \text{J}$。

(2) 由于中子和锂核具有相等但反向的动量，因此反应后生成的氚核和α粒子也具有相等但反向的动量，总动量为零，根据动量守恒定律可得反应后氚核和α粒子的速度相等。反应前中子和锂核的动能为 $E_n = \frac{1}{2}mv^2$，其中 $m$ 为质量，$v$ 为速度，代入数据得到 $E_n = 2.0 \times 10^{-12} \text{J}$。反应后氚核和α粒子的总动能为 $E_{\text{total}} = \Delta m c^2 = 3.2 \times 10^{-12} \text{J}$，根据动能守恒定律可得 $2E_{\text{kin}} = E_{\text{total}}$，即氚核和α粒子各自的动能为 $E_{\text{kin}} = 1.6 \times 10^{-12} \text{J}$。根据动能公式 $E_{\text{kin}} = \frac{1}{2}mv^2$，代入氚核和α粒子的质量可得 $v = \sqrt{\frac{2E_{\text{kin}}}{m}} = 1.4 \times 10^6 \text{m/s}$。