组合数学：生成函数求解重复字母字符串问题

首先，设$a(x)$表示选0个或1个a的方案数，$b(x)$表示选0个或1个b的方案数，$c(x)$表示选0个或1个c的方案数。则有：

$$a(x)=(1+x)$$

$$b(x)=(1+x)$$

$$c(x)=(1+x)$$

因为可以重复选择，所以四个字母的选法可以表示为：

$$(a(x)+b(x)+c(x))^4$$

展开得到：

$$ \begin{aligned} &(a(x)+b(x)+c(x))^4\ =&a^4(x)+4a^3(x)b(x)+6a^2(x)b^2(x)+4a(x)b^3(x)+b^4(x)&+4a^3(x)c(x)+12a^2(x)b(x)c(x)+12a(x)b^2(x)c(x)+4b^3(x)c(x)+4a^3(x)c^2(x)&+12a^2(x)b(x)c^2(x)+12a(x)b^2(x)c^2(x)+4b^3(x)c^2(x)+6a^2(x)c^3(x)+12a(x)b(x)c^3(x)+6b^2(x)c^3(x)+c^4(x) \end{aligned}$$

我们只需要将其中包含至少两个a的项找出来，并将它们的系数相加即可。注意到，$a^4(x)$和$a^3(x)b(x)$不符合条件，因为它们不含有至少两个a。因此，我们只需要考虑下面这些项：

$$ \begin{aligned} &6a^2(x)b^2(x)+4a(x)b^3(x)+4a^3(x)c(x)+12a^2(x)b(x)c(x)\ &+12a(x)b^2(x)c(x)+4a^3(x)c^2(x)+12a^2(x)b(x)c^2(x)+12a(x)b^2(x)c^2(x)\ &+6a^2(x)c^3(x)+12a(x)b(x)c^3(x) \end{aligned}$$

它们的系数分别为6，4，4，12，12，4，12，12，6，12。因此，我们可以得到组成不同字符串的方案数为：

$$6+4+4+12+12+4+12+12+6+12=82$$

因此，由生成函数的方法，我们得到了答案为82。