家庭口罩共享最优方案：基于距离和需求的算法

本文介绍了一种基于距离和需求的算法，用于解决家庭之间口罩共享问题，旨在找到最省钱的共享方案，并尽可能满足所有家庭的口罩需求。

问题描述

假设有 20 个家庭，每个家庭都拥有不同数量的口罩，且每个家庭都有各自的最低口罩需求。现在需要制定一个口罩共享方案，使得所有家庭都能满足其最低需求，并且总的快递费用最少。

算法步骤

数据准备:
- 家庭住址坐标：address = [30 35; 18 12; 23 17; 10 0; 15 25; 13 10; 20 20; 20 25; 32 15; 15 18; 24 9; 3 8; 33 3; 34 26; 37 23; 18 4; 42 8; 50 23; 53 16; 55 38; 7 42];
- 家庭拥有口罩数和最低需求口罩数：masks = [14 15; 14 9; 15 9; 4 8; 8 10; 12 8; 13 18; 7 11; 11 18; 23 24; 15 4; 17 10; 5 9; 19 27; 11 5; 20 7; 2 6; 10 8; 11 18; 13 18];
初始化:
- 创建共享方案矩阵：sharing_scheme = zeros(20);
- 创建口罩分配方案矩阵：mask_allocation = zeros(20);
- 创建充足口罩的家庭列表：sufficient_list = [];
- 创建不充足口罩的家庭列表：insufficient_list = [];
标记口罩充足家庭和不足家庭:
- 遍历每个家庭，根据其拥有口罩数和最低需求口罩数，判断是否口罩充足，并将其添加到相应的列表中。
计算家庭之间的距离:
- 使用 pdist 函数计算所有家庭之间的距离，并将结果转换为距离矩阵：distances = pdist(address, 'squaredeuclidean'); dist_matrix = squareform(distances);
找到最短路径:
- 使用回溯算法，找到连接所有家庭的最短路径。
根据最短路径分配口罩:
- 遍历最短路径，从第一个家庭开始，依次将口罩分配给不充足的家庭。
- 每个家庭优先从最近的充足家庭获取口罩。
- 如果一个充足家庭的口罩供应量不足以满足某个家庭的需求，则分配所有可供应的口罩，并继续从下一个充足家庭获取剩余的口罩。
输出最省钱的共享方案:
- 输出共享方案矩阵 sharing_scheme，该矩阵表示每个家庭向其他家庭共享了多少口罩。
- 输出总的快递费用。

回溯算法

backtrack 函数是一个递归函数，用于寻找连接所有家庭的最短路径。
该函数接收当前路径、路径距离和已访问家庭列表作为参数。
它遍历所有未访问的家庭，计算访问每个家庭后的路径距离。
如果路径距离小于当前的最短路径距离，则递归调用 backtrack 函数，继续搜索下一个家庭。

代码实现

% 家庭住址坐标
address = [30 35; 18 12; 23 17; 10 0; 15 25; 13 10; 20 20; 20 25; 32 15; 15 18; 24 9; 3 8; 33 3; 34 26; 37 23; 18 4; 42 8; 50 23; 53 16; 55 38; 7 42];

% 拥有口罩数和最低需求口罩数
masks = [14 15; 14 9; 15 9; 4 8; 8 10; 12 8; 13 18; 7 11; 11 18; 23 24; 15 4; 17 10; 5 9; 19 27; 11 5; 20 7; 2 6; 10 8; 11 18; 13 18];

% 初始化共享方案矩阵和口罩分配方案矩阵
sharing_scheme = zeros(20);
mask_allocation = zeros(20);

% 初始化充足口罩的家庭列表和不充足口罩的家庭列表
sufficient_list = [];
insufficient_list = [];

% 遍历每个家庭，标记是否口罩充足
for i = 1:20
    if masks(i, 1) >= masks(i, 2) % 口罩充足
        sufficient_list = [sufficient_list; i];
    else % 口罩不足
        insufficient_list = [insufficient_list; i];
    end
end

% 计算每个家庭之间的距离
distances = pdist(address, 'squaredeuclidean');
dist_matrix = squareform(distances);

% 根据最短路径给不充足家庭分配口罩
[shortest_path, shortest_distance] = backtrack([1], 0, [1]);

% 根据最短路径给不充足家庭分配口罩
for i = 2:length(shortest_path)-1
    receiver_idx = shortest_path(i);
    receiver_demand = masks(receiver_idx, 2) - masks(receiver_idx, 1); % 口罩需求量
    for j = 1:length(sufficient_list)
        donor_idx = sufficient_list(j);
        donor_supply = masks(donor_idx, 1) - masks(donor_idx, 2); % 口罩供应量
        if donor_supply >= receiver_demand % 口罩充足，满足需求并退出循环
            sharing_scheme(donor_idx, receiver_idx) = receiver_demand;
            mask_allocation(receiver_idx, donor_idx) = receiver_demand;
            masks(donor_idx, 1) = masks(donor_idx, 1) - receiver_demand;
            break;
        else % 口罩不足，分配所有可供应的口罩
            sharing_scheme(donor_idx, receiver_idx) = donor_supply;
            mask_allocation(receiver_idx, donor_idx) = donor_supply;
            masks(donor_idx, 1) = masks(donor_idx, 2);
            receiver_demand = receiver_demand - donor_supply;
        end
    end
end

% 输出最省钱的共享方案和总共需要支付的快递费
disp('最省钱的共享方案：')
disp(sharing_scheme)

% 输出给不充足家庭口罩的家庭列表
disp('给不充足家庭口罩的家庭列表：')
for i = 1:length(insufficient_list)
    receiver_idx = insufficient_list(i);
    donors = find(mask_allocation(receiver_idx, :) > 0);
    for j = 1:length(donors)
        donor_idx = donors(j);
        disp(['家庭', num2str(donor_idx), ' 给予家庭', num2str(receiver_idx), ' ', num2str(mask_allocation(receiver_idx, donor_idx)), ' 个口罩'])
    end
end

% 回溯算法函数
function [shortest_path, shortest_distance] = backtrack(path, distance, visited)
    if length(path) == 21 % 所有家庭都已访问
        shortest_path = path;
        shortest_distance = distance;
        return;
    end
    
shortest_path = [];
shortest_distance = Inf;
    
    for i = 2:21 % 从家庭2到家庭21依次访问
        if ~ismember(i, visited) % 当前家庭未被访问
            new_distance = distance + dist_matrix(path(end), i); % 更新路径距离
            if new_distance < shortest_distance % 剪枝：如果当前路径距离已经大于最短路径，不再继续搜索
                [new_path, new_distance] = backtrack([path, i], new_distance, [visited, i]); % 递归搜索下一个家庭
                if new_distance < shortest_distance % 更新最短路径
                    shortest_path = new_path;
                    shortest_distance = new_distance;
                end
            end
        end
    end
end

总结

该算法能够有效地解决家庭之间口罩共享问题，找到最省钱的共享方案，并尽可能满足所有家庭的口罩需求。算法的具体实现可以根据实际情况进行调整，例如可以考虑使用不同的距离计算方法、不同的分配策略等。

此外，需要注意的是，该算法的效率可能会受到家庭数量和距离的影响。对于大型数据集，可能需要优化算法的实现，以提高其效率。