如何求解积分 √(x^2 + 4) dx 在 0 到 1 的定积分

这个积分需要使用三角代换来解决。

令x = 2tanθ，dx = 2sec^2θ dθ，根据三角恒等式，有：

x^2 + 4 = 4tan^2θ + 4 = 4sec^2θ

将根号(x^2+4)dx 代换为 4sec^2θ × 2sec^2θ dθ，得到：

∫根号(x^2+4)dx = ∫4sec^2θ × 2sec^2θ dθ

= 8∫sec^4θ dθ

接下来，我们需要使用分部积分法来解决这个积分。设u = sec^2θ，dv = sec^2θ dθ，有：

du/dθ = 2secθ tanθ

v = tanθ

将u和v代入分部积分公式，得到：

∫sec^4θ dθ = sec^2θ tanθ - 2∫sec^2θ tan^2θ dθ

接下来，我们需要使用三角恒等式将tan^2θ表示为sec^2θ-1，并将sec^2θ表示为1+tan^2θ。得到：

∫sec^4θ dθ = sec^2θ tanθ - 2∫sec^2θ (sec^2θ - 1) dθ

= sec^2θ tanθ - 2∫(sec^4θ - sec^2θ) dθ

= sec^2θ tanθ - 2(1/3 tan^3θ - tanθ) + C

回代x，将上限和下限带入，得到：

∫根号(x^2+4)dx = 8(1/3tan^-1(1) - 1) - 8(1/3tan^-1(0) - 0) = 8/3π - 8/3