如何计算 ∫√(x^2+4)dx 在 0 到 1 的定积分

首先，我们可以尝试将√(x^2+4)dx 拆分成更容易求解的形式。我们可以利用三角函数的知识，将x^2+4 表示成 (2tanθ)^2+4，然后利用三角恒等式将其化简为 4sec^2θ。因此：

√(x^2+4)dx = 2secθtanθ dθ

接下来，我们需要将该式子在 0-1 上求定积分。我们可以考虑将其变量换元，将θ表示成关于x的函数，然后将积分限也表示成x的形式。由于tanθ = x/2，我们可以得到：

secθ = √(1 + tan^2θ) = √(1 + (x/2)^2)

因此，我们可以将 2secθtanθ dθ 表示成 √(1 + (x/2)^2) dx。接下来，我们需要将积分限也表示成x的形式。在x=0时，θ=0；在x=1时，θ=arctan2。因此，我们可以得到：

∫√(x^2+4)dx = ∫√(1 + (x/2)^2) dx（从 0 到 1）

现在，我们可以进行一个新的变量换元，将x/2 表示成另一个变量t。因此，dx = 2dt，积分限也可以表示成t的形式。我们可以得到：

∫√(1 + (x/2)^2) dx = ∫√(1 + t^2) * 2dt（从 0 到 0.5）

这个积分可以通过反三角函数的知识求解。令u = 1 + t^2，我们可以得到：

∫√(1 + t^2) * 2dt = ∫√(u) * du（从 1 到 1.25）

这个积分可以通过基本定积分公式求解，最终结果为：

∫√(x^2+4)dx = [2/3 * (1.25)^(3/2) - 2/3] = 0.9688

因此，在 0-1 上，√(x^2+4)dx 的定积分为 0.9688。