博弈论：纳什均衡与交通网络优化

一座城市有两条路线连接A城和B城，80个人从A城出发向B城行驶。路线1从A城开始先经过一条高速公路，然后连接到一条能到达B城的普通道路。这条通往B城的普通道路行驶时间为10加上行驶在该道路上的车辆数，以分钟计算。路线2从A城出发以二条普通道路开始，该普通道路连接一条直接通往B城的高速路，其行驶时间与行驶车辆无关，为1小时。

问题：

(a) 画出以上描述的网络，在每边标出所需的行驶时间。设为采用路线1的人数。因为所有路线均为单向，此网络应为有向图。

(b) 所有车辆同时选择路线。找出x的纳什均衡值。

(c) 政府修建了一条双向的新路。这条新路增加了两条路线。一条是从A出发进入普通路线（在路线2上），再进入新路和通向B城的普通路（在路线1上）。另一条路线由从A出发进入高速路（在路线1上），然后进入新路以及通向B城的高速路（在路线2上）。新路非常短，其行驶时间可以忽略不计。找出这个新的纳什均衡。[提示：存在一种均衡，其中没有人选择以上描述的第二条路线。]

解答：

(a) 以下是网络图，其中边上标注了行驶时间（分钟）：

(b) 为了找出纳什均衡，我们需要找到每个人在每条路线上的最优选择。我们通过假设每个人都知道其他人的选择，并假设每个人都是理性的，即每个人都会选择最优路线。

对于路线1，假设有x个人选择该路线，那么行驶时间为1+10+x分钟。

对于路线2，假设有80-x个人选择该路线，那么行驶时间为10+(80-x)分钟。

为了找到纳什均衡，我们需要找到一个x值，使得在所有人都知道其他人的选择，且所有人都是理性的情况下，没有人会改变他们的选择。

对于路线1，如果有一个人改变他们的选择，那么他的行驶时间将变为11+10+x分钟，而其他人的行驶时间将保持不变。因此，如果有一个人选择另一条路线，那么他的行驶时间将更长，这不是他的最优选择。

同样地，对于路线2，如果有一个人改变他们的选择，那么他的行驶时间将变为11+80-x分钟，而其他人的行驶时间将保持不变。因此，如果有一个人选择另一条路线，那么他的行驶时间将更长，这不是他的最优选择。

因此，纳什均衡是在路线1上有40个人，在路线2上有40个人。

在这个新的网络中，有四条路线：A到B的四种可能路径。

假设有x个人选择第一条路线，那么他们的行驶时间为1+10+x分钟。同样的，假设有y个人选择第二条路线，那么他们的行驶时间为60+y分钟。

对于第三条路线，由于新路非常短，其行驶时间可以忽略不计。因此，如果有z个人选择第三条路线，那么他们的行驶时间为10+1+z分钟。

对于第四条路线，同样有一个人数为80-x-z的群体选择该路线，其行驶时间为1+10+(80-x-z)分钟。

为了找到纳什均衡，我们需要找到一个x和z值，使得在所有人都知道其他人的选择，且所有人都是理性的情况下，没有人会改变他们的选择。

同样地，对于路线3和路线4，如果有一个人改变他们的选择，那么他的行驶时间将更长，这不是他的最优选择。

对于路线2，如果有一个人改变他们的选择，那么他的行驶时间将变为61+y分钟，而其他人的行驶时间将保持不变。因此，如果有一个人选择另一条路线，那么他的行驶时间将更长，这不是他的最优选择。

因此，存在一个纳什均衡，其中x=30，z=0，即在路线1上有30个人，在路线2上有50个人。注意到没有人选择第三条路线，因为它的行驶时间为11分钟，而路线1和路线2上的行驶时间都更短。