求数的除数与余数的最大积 - C++ 二分查找算法实现

本文介绍如何求一个数 n 的除数 k，使得 k 与余数 n%k 的乘积最大。

我们可以使用二分查找的方法来解决这个问题。首先，我们知道 k 的范围在 [1, n] 之间。

二分查找算法流程:

1. 初始化搜索范围: 将左边界 left 初始化为 1，右边界 right 初始化为 n。2. 计算中间值: 计算中间值 mid = (left + right) / 2。3. 比较余数和当前最大积: 计算 n%mid 的值，并与当前最大积 maxProduct 进行比较： - 如果 n%mid 大于等于 maxProduct，说明 n%k 的值可能更大，我们将搜索范围缩小到 [mid+1, right]。 - 如果 n%mid 小于 maxProduct，说明 n%k 的值可能更小，我们将搜索范围缩小到 [left, mid-1]。 - 如果 n%mid 等于 maxProduct，说明我们已经找到了一个除数 k 使得 k 与余数 n%k 的乘积最大，直接返回结果。4. 继续二分查找: 重复步骤 2 和 3，直到搜索范围缩小到只有一个元素，即 left = right。此时，left 或 right 就是最大的除数 k，将其与 n%k 相乘即可得到最大积。

**C++ 代码实现:**cpp#include

using namespace std;

long long findMaxProduct(long long n) { long long left = 1; long long right = n; long long maxProduct = 0;

while (left <= right) {        long long mid = (left + right) / 2;        long long remainder = n % mid;

    if (remainder >= maxProduct) {            maxProduct = remainder;            left = mid + 1;        } else {            right = mid - 1;        }    }

return maxProduct * (n / (maxProduct + 1));}

int main() { long long n; cin >> n;

long long maxProduct = findMaxProduct(n);    cout << maxProduct << endl;

return 0;}

该代码使用二分查找的方法，在时间复杂度为 O(logn) 的情况下找到了最大的除数 k。