求解一个数的除数与余数的最大乘积 (C++ 实现)

要求除数与余数的最大积，即要找到一个除数 d，使得余数 r 与除数 d 的乘积最大化。

假设 n = q * d + r，其中 q 是商，r 是余数。我们需要找到一个最大的除数 d，使得 q * r 最大化。

我们可以观察到，当 q 与 r 的差距越小时，乘积 q * r 会趋向于最大化。因此，我们可以将除数 d 设为 q 的整数部分，即 d = floor(n/q)。

这样，余数 r = n - q * d = n - q * floor(n/q)。我们可以将这个问题转化为求解 q 和 r 的最大乘积。

为了避免使用从 1 遍历到 n 的方法，我们可以使用二分查找的方法来找到最大的除数 d。

首先，我们可以将除数 d 的范围缩小到 [1, n]。然后，我们可以计算中间值 mid = (left + right) / 2，其中 left = 1，right = n。

接下来，我们计算 mid 对应的商 q = floor(n/mid) 和余数 r = n - q * mid。

如果 q <= r，说明 mid 可以作为一个合法的除数，并且乘积 q * r 可能是最大的。我们更新 left = mid + 1，并继续查找右半部分。

如果 q > r，说明 mid 不是一个合法的除数，我们更新 right = mid - 1，并继续查找左半部分。

我们继续重复以上步骤，直到 left > right。最后，我们返回最大的乘积 q * r。

下面是使用 C++ 实现的代码：

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

long long findMaxProduct(long long n) {
    long long left = 1, right = n;
    long long maxProduct = 0;
    
    while (left <= right) {
        long long mid = (left + right) / 2;
        long long q = n / mid;
        long long r = n - q * mid;
        
        if (q <= r) {
            maxProduct = max(maxProduct, q * r);
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    
    return maxProduct;
}

int main() {
    long long n;
    cin >> n;
    
    long long maxProduct = findMaxProduct(n);
    
    cout << maxProduct << endl;
    
    return 0;
}

该算法的时间复杂度为 O(log n)。