极限证明：lim(x->0)sinx/x = 1

要证明$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，我们可以使用夹逼定理。

首先，我们知道当$x$接近0时，$\sin x$也接近0。换句话说，存在一个正数$a$，使得当$0 < |x| < a$时，有$-1 < \sin x < 1$。

接下来，我们来证明当$x$接近0时，$\frac{1}{x}$的值可以任意大或任意小。具体地，对于任意正数$M$，存在正数$b$，使得当$0 < |x| < b$时，有$\frac{1}{x} > M$；对于任意负数$N$，存在正数$c$，使得当$0 < |x| < c$时，有$\frac{1}{x} < N$。

由于$\sin x$介于-1和1之间，我们可以得到以下不等式：$-1 < \sin x < 1$。

将不等式两边同时乘以$\frac{1}{|x|}$，并注意到$x$的正负号不影响不等式的方向，我们可以得到以下不等式：$\frac{-1}{|x|} < \frac{\sin x}{x} < \frac{1}{|x|}$。

根据我们之前的结论，对于任意正数$M$，存在正数$b$，使得当$0 < |x| < b$时，有$\frac{1}{x} > M$。所以我们可以得到以下不等式：$\frac{-1}{|x|} < \frac{\sin x}{x} < \frac{1}{|x|} < M$。

根据夹逼定理，我们可以得出$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。