信用评分卡优化问题：寻找最佳评分卡和阈值

问题一：建模及求解/n/n### 1. 建模/n/n首先，我们需要定义一些变量：/n/n- $x_i$ 表示选择第 $i$ 张信用评分卡，其中 $i//in//{1, 2, //cdots, 100//}$。/n- $y_i$ 表示选择第 $i$ 张信用评分卡的阈值，其中 $i//in//{1, 2, //cdots, 100//}$。/n/n接下来，我们需要将最终收入最大化转化为数学模型。/n/n根据题目，每张信用评分卡有 $10$ 种阈值可供选择，因此我们可以将问题转化为一个 0/1 背包问题。每张信用评分卡可以选择或不选择，即 $x_i//in//{0, 1//}$。而每种阈值的收益即为通过率与坏账率的乘积，即 $h_{i, j}=t_{i, j}//times(1-h_{i, j})$，其中 $j//in//{1, 2, //cdots, 10//}$。/n/n因此，我们可以得到以下目标函数：/n/n$$//max//sum_{i=1}^{100}//sum_{j=1}^{10}h_{i, j}x_iy_j$$/n/n同时，我们需要满足以下约束条件：/n/n- 选择的信用评分卡数量不能超过 $1$ 张：$//sum_{i=1}^{100}x_i//leq1$。/n- 每张信用评分卡只能选择一种阈值：$//sum_{j=1}^{10}y_j=1$。/n/n因此，我们可以得到以下 0/1 整数规划模型：/n/n$$//begin{aligned}//max//quad & //sum_{i=1}^{100}//sum_{j=1}^{10}h_{i, j}x_iy_j//////text{s.t.}//quad/n& //sum_{i=1}^{100}x_i//leq1,///////n& //sum_{j=1}^{10}y_j=1,///////n& x_i//in//{0, 1//},/quad i//in//{1, 2, //cdots, 100//},///////n& y_j//in//{0, 1//},/quad j//in//{1, 2, //cdots, 10//}.//////end{aligned}$$/n/n### 2. QUBO 形式/n/n将整数规划模型转化为 QUBO 模型需要用到以下公式：/n/n$$x_i^2=x_i,/quad y_j^2=y_j,/quad x_iy_j=x_i+y_j-2x_iy_j$$/n/n将目标函数和约束条件代入上述公式可以得到 QUBO 模型：/n/n$$//begin{aligned}//min//quad & -//sum_{i=1}^{100}//sum_{j=1}^{10}h_{i, j}x_iy_j+//lambda//left(//sum_{i=1}^{100}x_i-1//right)^2+//mu//left(//sum_{j=1}^{10}y_j-1//right)^2//////text{s.t.}//quad/n& x_i//in//{0, 1//},/quad i//in//{1, 2, //cdots, 100//},///////n& y_j//in//{0, 1//},/quad j//in//{1, 2, //cdots, 10//}.//////end{aligned}$$/n/n其中，$//lambda$ 和 $//mu$ 是拉格朗日乘子，可以通过求解该 QUBO 模型得到。/n/n### 3. 求解/n/n我们可以使用 D-Wave 的量子计算机或者 PyQUBO 模块来求解该问题。/n/n本题的数据规模相对较小，可以直接使用 PyQUBO 模块求解。以下为求解代码：/n