函数 y=ln(x+3)/x^5 的定义域和极限计算

函数 y=ln(x+3)/x^5 的定义域和极限计算

定义域:

函数 y=ln(x+3)/x^5 的定义域需要满足以下两个条件：

1. x+3>0，即 x>-3；
2. x≠0。

因此，函数 y=ln(x+3)/x^5 的定义域为 x>-3 且 x≠0。

极限计算:

为了方便计算，我们将函数 y=ln(x+3)/x^5 拆分成两个函数：

1. f(x)=ln(x+3)，在定义域内是单调增函数；
2. g(x)=1/x^5，在定义域内是单调递减函数。

当 x 趋近于正无穷大时：

• g(x) 趋近于 0；
• f(x) 趋近于 ln(x)。

此时，我们可以利用夹逼定理求极限：

lim(x→∞)[1/x^5 * ln(x+3)] = lim(x→∞)[f(x)/g(x)] = lim(x→∞)[ln(x)/(x+3)^5 * (x+3)^5 * 1/x^5]

= lim(x→∞)[ln(x)/(x+3)^5]

= 0

当 x 趋近于 0 时：

• g(x) 趋近于 正无穷大；
• f(x) 趋近于 ln(3)。

同样利用夹逼定理求极限：

lim(x→0)[1/x^5 * ln(x+3)] = lim(x→0)[f(x)/g(x)] = lim(x→0)[ln(x)/(x+3)^5 * (x+3)^5 * 1/x^5]

= lim(x→0)[ln(x)/(x+3)^5]

= ln(3)/243

综上所述，函数 y=ln(x+3)/x^5 的定义域为 x>-3 且 x≠0，极限值为 0 和 ln(3)/243。