线性方程组同解条件与Gauss消元法正确性详解

矩阵乘法：Gauss 消元法的每一步可以看作是对矩阵左乘一个初等矩阵，将原矩阵转化为一个等价的上三角矩阵。因此，最终的上三角矩阵可以表示成一个初等矩阵的乘积，而初等矩阵是可逆的，因此原矩阵也是可逆的，从而可以唯一地解出线性方程组。

线性方程组的'生成'：将增广矩阵转化为上三角矩阵后，方程组的解可以通过回代得到。由于上三角矩阵的每一行都只有一个未知数的系数不为零，因此可以从最后一行开始回代，逐步求解出所有未知数的值。这种方法的正确性可以通过数学归纳法来证明，即假设前 k 行的解已经求出，证明第 k+1 行的解也能唯一地确定。