非线性方程数值解法实验：逐步搜索法、二分法和迭代法

一、实验目的

1. 掌握逐步搜索法求解非线性方程根区间
2. 掌握二分法求解非线性方程根的近似解
3. 掌握迭代法求解非线性方程的解

二、实验平台

1. 计算机
2. MATLAB 集成环境

三、实验内容

(1) 用逐步搜索法求方程 f(x) = x^3 - x - 1 = 0 的一个有根区间，要求有根区间范围不得超过 0.1。 (2) 用二分法求解方程 f(x) = 1 - x - sin(x) = 0 在区间 [0, 1] 内的一个实根，使误差不大于 1/2 * 10^-4。 (3) 用迭代法求解方程 f(x) = x^3 - x^2 - 1 = 0 在区间 [1.4，1.6] 上的根，要求保留至少 5 位有效数字。

实验步骤

1. 逐步搜索法

   • 选定一个初始点，比如 x = 0。
   • 逐步增大 x 的值，直到 f(x) 的符号发生变化，记录下此时的 x 值。
   • 再把 x 值减小，直到 f(x) 的符号再次发生变化，记录下此时的 x 值。
   • 这两个值之间的区间即为有根区间。

2. 二分法

   • 选定一个区间 [a, b]。
   • 计算出中点 c = (a + b) / 2。
   • 计算 f(c) 的值。
   • 如果 f(c) 的符号与 f(a) 相同，则根在区间 [c, b] 内，否则在区间 [a, c] 内。
   • 不断缩小区间直到满足误差要求。

3. 迭代法

   • 选定一个初始点，比如 x = 1.5。
   • 按照公式 x(n+1) = g(x(n)) 迭代计算，其中 g(x(n)) 为迭代函数。
   • 直到满足精度要求。
   • 注意迭代函数的选取要满足收敛条件。