三角形面积数列的递增性证明 - a(n), b(n), c(n) 边长变化

首先求出三角形面积公式：

$s = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

其中，$p$ 为半周长，即 $p = \frac{a+b+c}{2}$。

根据题意，有 $b_1 > c_1$ 且 $b_1+c_1=2a_1$，代入半周长公式可得：

$p_1 = \frac{a_1+b_1+c_1}{2} = \frac{2a_1+b_1}{2} = a_1+\frac{b_1}{2}$

代入三角形面积公式可得：

$s_1 = \sqrt{\left(a_1+\frac{b_1}{2}\right)\left(\frac{b_1}{2}\right)\left(a_1-c_1+\frac{b_1}{2}\right)\left(a_1+\frac{c_1}{2}\right)}$

注意到 $a_{n+1} = a_n$，$b_{n+1} = \frac{c_n+a_n}{2}$，$c_{n+1} = \frac{b_n+a_n}{2}$，代入半周长公式可得：

$p_{n+1} = \frac{a_n+b_{n+1}+c_{n+1}}{2} = \frac{3a_n+b_n+c_n}{4}$

代入三角形面积公式可得：

$s_{n+1} = \sqrt{\left(\frac{3a_n+b_n+c_n}{4}\right)\left(\frac{b_n+a_n}{4}\right)\left(\frac{3a_n-b_n+c_n}{4}\right)\left(\frac{3a_n+b_n-c_n}{4}\right)}$

注意到 $b_1 > c_1$，且 $b_{n+1} = \frac{c_n+a_n}{2}$，$c_{n+1} = \frac{b_n+a_n}{2}$，可得 $b_{n+1}+c_{n+1} = a_n+b_n+c_n$，即 $p_{n+1} = p_n$。因此，$s_{n+1}$ 的值只与 $a_n,b_n,c_n$ 有关，与 $n$ 无关。

现在需要判断 $s_n$ 的递增或递减性。注意到 $s_{n+1}$ 的值只与 $a_n,b_n,c_n$ 有关，因此只需要判断 $a_n,b_n,c_n$ 的大小关系即可。

由于 $b_1 > c_1$，可得 $b_n > c_n$，因此 $a_n > c_n$。又由 $b_{n+1} = \frac{c_n+a_n}{2}$，$c_{n+1} = \frac{b_n+a_n}{2}$，可得 $b_{n+1} > c_{n+1}$。因此，$a_{n+1} > c_{n+1}$。

综上，$a_n > c_n$，$a_{n+1} > c_{n+1}$，因此 $s_{n+1}$ 要么与 $s_n$ 相等，要么比 $s_n$ 大。因此 $s_n$ 数列是递增的。