ARIMA 模型多步预测详解：数学公式及案例演示

假设我们要用多步预测模型预测某个时间序列在未来 4 个时间步长的值，我们可以使用 ARIMA 模型进行预测。ARIMA 模型是一种常用的时间序列模型，可以用来预测未来的时间序列值。/n/nARIMA 模型有三个参数，分别是 p、d 和 q，分别代表自回归项、差分阶数和移动平均项。其数学公式如下：/n/n$$ARIMA(p,d,q): y_t=c+/sum_{i=1}^p//phi_iy_{t-i}+/sum_{i=1}^q//theta_i//epsilon_{t-i}+//epsilon_t$$ /n/n其中，$y_t$ 是时间序列的值，$c$ 是常数，$//phi_i$ 是自回归系数，$//epsilon_t$ 是随机误差，$//theta_i$ 是移动平均系数。/n/n假设我们要预测未来 4 个时间步长的值，我们可以使用 ARIMA 模型中的预测公式来计算预测值。ARIMA 模型预测公式如下：/n/n$$//hat{y}{t+h}=c+/sum{i=1}^p//phi_iy_{t+h-i}+/sum_{i=1}^q//theta_i//epsilon_{t+h-i}$$/n/n其中，$//hat{y}{t+h}$ 是未来 $h$ 个时间步长的预测值。/n/n为了进行多步预测，我们需要依次预测未来的每个时间步长的值。假设我们已经预测出了未来 1 个时间步长的值，那么我们就可以将这个预测值作为下一个时间步长的输入，并继续使用 ARIMA 模型进行预测。依此类推，我们可以预测未来 4 个时间步长的值。/n/n下面是一个简单的 ARIMA 模型的例子，用于预测未来 4 个时间步长的值：/n/n假设我们有以下时间序列数据：/n/n$$y_t=[1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20]$$ /n/n我们可以使用 ARIMA 模型来预测未来 4 个时间步长的值。首先，我们需要进行差分操作，以使时间序列成为平稳时间序列。假设我们需要进行一阶差分，那么我们可以将时间序列变为：/n/n$$//Delta y_t=[1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1]$$ /n/n然后，我们可以使用 ARIMA 模型来拟合差分后的时间序列。假设我们选择 ARIMA(2,1,1) 模型，那么 ARIMA 模型的公式可以写为：/n/n$$ARIMA(2,1,1): y_t=c+//phi_1y{t-1}+//phi_2y_{t-2}+//theta_1//epsilon_{t-1}+//epsilon_t$$ /n/n我们可以使用最小二乘法来估计模型中的参数。假设我们估计出的参数为：/n/n$$c=1.04, //phi_1=0.78, //phi_2=-0.23, //theta_1=0.35$$/n/n然后，我们可以使用 ARIMA 模型来预测未来 4 个时间步长的值。假设我们已经预测出了未来 1 个时间步长的值为 21，那么我们可以将这个预测值作为下一个时间步长的输入，并继续使用 ARIMA 模型进行预测。依此类推，我们可以预测未来 4 个时间步长的值。预测结果如下：/n/n$$//hat{y}{15}=21.00, //hat{y}{16}=21.38, //hat{y}{17}=21.68, //hat{y}{18}=21.91$$ /n/n因此，我们预测未来 4 个时间步长的值分别为 21.00、21.38、21.68 和 21.91。