多步预测模型详解：ARIMA公式及递归计算方法

多步预测模型是指能够预测未来多个时间步长的模型。其中，时间步长是指预测的时间间隔，比如每小时预测一次，时间步长就是1小时。下面以ARIMA模型为例，详细解释多步预测模型的数学求解公式。

ARIMA模型是一种广泛应用于时间序列预测的模型，它的数学表达式为：

$y_t = c + \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \cdots + \phi_p y_{t-p} + \epsilon_t - \theta_1 \epsilon_{t-1} - \theta_2 \epsilon_{t-2} - \cdots - \theta_q \epsilon_{t-q}$

其中，$y_t$ 表示时间为 $t$ 的观测值，$c$ 表示常数项，$\phi_1$ 到 $\phi_p$ 是 $p$ 阶自回归系数，$\epsilon_t$ 表示时间为 $t$ 的随机误差，$\theta_1$ 到 $\theta_q$ 是 $q$ 阶移动平均系数。

为了进行多步预测，我们需要对 ARIMA 模型进行适当的改进。具体来说，我们需要将 ARIMA 模型转化为一个时间可变的模型，即考虑时间步长 $h$。这样，ARIMA 模型的多步预测公式就可以表示为：

$\hat{y}{t+h} = c + \phi_1 \hat{y}{t+h-1} + \phi_2 \hat{y}{t+h-2} + \cdots + \phi_p \hat{y}{t+h-p} - \theta_1 e_{t+h-1} - \theta_2 e_{t+h-2} - \cdots - \theta_q e_{t+h-q} $

其中，$\hat{y}{t+h}$ 表示时间为 $t+h$ 的预测值，$e{t+h}$ 表示时间为 $t+h$ 的误差值，它等于实际观测值减去预测值的差值，即 $e_{t+h} = y_{t+h} - \hat{y}_{t+h}$。

我们可以通过递归的方式来计算多步预测值。具体来说，设 $y_{t+1}, y_{t+2}, \cdots, y_{t+h-1}$ 已知，我们可以依次计算 $\hat{y}{t+1}, \hat{y}{t+2}, \cdots, \hat{y}_{t+h}$。具体的计算公式为：

$\hat{y}{t+1} = c + \phi_1 y_t + \phi_2 y{t-1} + \cdots + \phi_p y_{t-p+1} - \theta_1 e_t - \theta_2 e_{t-1} - \cdots - \theta_q e_{t-q+1} $

$\hat{y}{t+2} = c + \phi_1 \hat{y}{t+1} + \phi_2 y_t + \cdots + \phi_p y_{t-p+2} - \theta_1 e_{t+1} - \theta_2 e_t - \cdots - \theta_q e_{t-q+2} $

$\cdots$

$\hat{y}{t+h} = c + \phi_1 \hat{y}{t+h-1} + \phi_2 \hat{y}{t+h-2} + \cdots + \phi_p \hat{y}{t+h-p} - \theta_1 e_{t+h-1} - \theta_2 e_{t+h-2} - \cdots - \theta_q e_{t+h-q} $

通过这种方式，我们就可以得到时间步长为 $h$ 的多步预测值。需要注意的是，随着时间步长的增加，预测误差也会逐渐累积，因此预测精度可能会降低。为了提高预测精度，我们可以使用一些更加复杂的模型，比如针对长期预测的神经网络模型。