复变函数积分 | 求解从 1-i 到 -2-3i 的 ∫(|z|²)dz 积分路径

假设积分路径为$C$，则有：

$$ \int_C |z|^2dz = \int_{C_1} |z|^2dz + \int_{C_2} |z|^2dz + \int_{C_3} |z|^2dz $$

其中$C_1$为从$1-i$到$-1-i$的直线段，$C_2$为从$-1-i$到$-2-3i$的直线段，$C_3$为从$-2-3i$到$1-i$的直线段。

对于$C_1$和$C_3$，$|z|^2 = x^2 + y^2$，其中$z=x+iy$，因此可使用直线参数方程表示：

$$C_1: z = t(1-i) + (1-t)(-1-i), \quad t\in[0,1]$$

$$C_3: z = t(-2-3i) + (1-t)(1-i), \quad t\in[0,1]$$

将参数方程带入$|z|^2$，得到：

$$|z|^2 = (t-1)^2 + 2t(1-t) = 2t^2 - 2t + 2$$

因此有：

$$ \int_{C_1} |z|^2dz = \int_0^1 (t-1)^2 + 2t(1-t)dt = \frac{2}{3}i $$

$$ \int_{C_3} |z|^2dz = \int_0^1 2t^2 - 2t + 2dt = -\frac{8}{3}-\frac{10}{3}i $$

对于$C_2$，可以将其表示为$z=x+(-1-i)y$，因此有：

$$|z|^2 = x^2 + (y+1)^2$$

将$C_2$带入$|z|^2$，得到：

$$|z|^2 = (x+2)^2 + (y+3)^2 - 13$$

因此有：

$$ \int_{C_2} |z|^2dz = \int_0^1 (x+2)^2 + (y+3)^2 - 13dt $$

$$= \int_0^1 -13 + 8t - 10t^2dt = \frac{71}{3} + \frac{73}{3}i $$

综上所述，有：

$$ \int_C |z|^2dz = \frac{2}{3}i - \frac{8}{3}-\frac{10}{3}i + \frac{71}{3} + \frac{73}{3}i = \frac{63}{3} + \frac{65}{3}i = 21+ \frac{65}{3}i $$

因此，积分路径的值为$21+ \frac{65}{3}i$。