二维四节点等参单元插值多项式详解 - 自然坐标系、图形及应用

二维四节点等参单元的插值多项式为：

$N_1(\xi,\eta) = \frac{1}{4}(1-\xi)(1-\eta)$

$N_2(\xi,\eta) = \frac{1}{4}(1+\xi)(1-\eta)$

$N_3(\xi,\eta) = \frac{1}{4}(1+\xi)(1+\eta)$

$N_4(\xi,\eta) = \frac{1}{4}(1-\xi)(1+\eta)$

其中，$\xi$ 和 $\eta$ 分别表示自然坐标系中的坐标，取值范围为 $-1 \leq \xi,\eta \leq 1$。这四个函数的图形如下所示：

这四个函数满足插值条件，即在四个节点处的函数值分别为 1，其他节点处的函数值为 0。因此，可以通过这四个函数的线性组合构造出任意位置的插值函数。例如，对于一个位置 $(x,y)$，可以先将其转换为自然坐标系中的坐标 $(\xi,\eta)$，然后按照以下公式计算插值函数的值：

$f(x,y) = \sum_{i=1}^4 N_i(\xi,\eta) f_i$

其中，$f_i$ 表示四个节点处的函数值。