多项式乘法分配律详解：公式、示例与应用

多项式的乘法分配律指的是，对于任意三个多项式 $f(x)$、$g(x)$ 和 $h(x)$，有：

$$f(x) \cdot [g(x)+h(x)] = f(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot h(x)$$

这个公式可以理解为，将 $f(x)$ 与括号中的 $g(x)$ 和 $h(x)$ 分别相乘，然后将两个乘积相加，与直接将 $f(x)$ 与 $g(x)+h(x)$ 相乘得到的结果相同。

例如，假设有多项式 $f(x) = 2x^2+3x-1$、$g(x) = x+2$ 和 $h(x) = 3x-4$，则根据乘法分配律：

$$ \begin{aligned} f(x) \cdot [g(x)+h(x)] &= [2x^2+3x-1] \cdot [(x+2)+(3x-4)]
&= [2x^2+3x-1] \cdot [4x-2]
&= 8x^3 + 2x^2 - 14x + 2x^2 - 3x + 1
&= 8x^3 + 4x^2 - 17x + 1 \end{aligned} $$

而直接将 $f(x)$ 与 $g(x)+h(x)$ 相乘，得到的结果也是相同的：

$$ \begin{aligned} f(x) \cdot [g(x)+h(x)] &= [2x^2+3x-1] \cdot [x+2+3x-4]
&= [2x^2+3x-1] \cdot [4x-2]
&= 8x^3 + 2x^2 - 14x + 2x^2 - 3x + 1
&= 8x^3 + 4x^2 - 17x + 1 \end{aligned} $$

因此，乘法分配律在多项式乘法中是成立的。