证明不等式：∫[-1,1] P(x)² dx ≤ ∫[-1,1] Q_n(x)² dx (P(x), Q_n(x) ∈ H_n)

假设 P(x) 和 Q_n(x) 是 n 次多项式，且属于 H_n 空间，即它们在区间 [-1, 1] 上定义，且其系数为实数。

证明:

令 R(x) = Q_n(x) - P(x)，则 R(x) 也是一个 n 次多项式。

由于 P(x) 和 Q_n(x) 都是 n 次多项式，因此 R(x) 也是 n 次多项式。

考虑积分：

∫[-1,1] R²(x) dx = ∫[-1,1] (Q_n(x) - P(x))² dx = ∫[-1,1] (Q_n²(x) - 2P(x)Q_n(x) + P²(x)) dx

由于 P(x) 和 Q_n(x) 都是 n 次多项式，因此它们的乘积也是 n 次多项式，其积分在 [-1, 1] 上为 0。

所以，我们可以得到：

∫[-1,1] R²(x) dx = ∫[-1,1] Q_n²(x) dx - ∫[-1,1] P²(x) dx

由于 R²(x) ≥ 0，因此 ∫[-1,1] R²(x) dx ≥ 0。

所以，我们可以得到：

∫[-1,1] Q_n²(x) dx - ∫[-1,1] P²(x) dx ≥ 0

即：

∫[-1,1] P²(x) dx ≤ ∫[-1,1] Q_n²(x) dx

结论：

当 P(x) 和 Q_n(x) 属于 H_n 空间时，积分不等式 ∫[-1,1] P(x)² dx ≤ ∫[-1,1] Q_n(x)² dx 成立。