证明不等式：∫(-1 to 1) P^2(x) dx ≤ ∫(-1 to 1) Q_n^2(x) dx (P(x), Q_n(x) ∈ H_n)

证明不等式：∫(-1 to 1) P^2(x) dx ≤ ∫(-1 to 1) Q_n^2(x) dx (P(x), Q_n(x) ∈ H_n)

设 P(x) 和 Q_n(x) 是定义在区间 [-1, 1] 上的 n 次多项式，且满足以下条件：

• P(x) 和 Q_n(x) 均属于 H_n 空间，即它们都是关于 x 的 n 次多项式。

则我们需要证明以下不等式：

∫(-1 to 1) P^2(x) dx ≤ ∫(-1 to 1) Q_n^2(x) dx

证明:

由于 P(x) 和 Q_n(x) 是 n 次多项式，我们可以将它们表示为 Legendre 多项式的线性组合：

 P(x) = a_0 P_0(x) + a_1 P_1(x) + ... + a_n P_n(x)
 Q_n(x) = b_0 P_0(x) + b_1 P_1(x) + ... + b_n P_n(x)

其中 a_i 和 b_i 是常数系数。

根据 Legendre 多项式的正交性，我们有：

∫(-1 to 1) P_i(x) P_j(x) dx = 0, i ≠ j
∫(-1 to 1) P_i^2(x) dx = 2/(2i + 1), i = 0, 1, 2, ...

因此，我们可以计算：

∫(-1 to 1) P^2(x) dx = ∫(-1 to 1) (a_0 P_0(x) + a_1 P_1(x) + ... + a_n P_n(x))^2 dx
= ∑(i=0 to n) a_i^2 ∫(-1 to 1) P_i^2(x) dx
= ∑(i=0 to n) a_i^2 * 2/(2i + 1)

同理，我们可以计算：

∫(-1 to 1) Q_n^2(x) dx = ∑(i=0 to n) b_i^2 * 2/(2i + 1)

由于 a_i 和 b_i 是任意常数系数，我们可以选择 a_i = b_i，此时：

∫(-1 to 1) P^2(x) dx = ∫(-1 to 1) Q_n^2(x) dx

因此，当 P(x) 和 Q_n(x) 属于 H_n 空间时，不等式 ∫(-1 to 1) P^2(x) dx ≤ ∫(-1 to 1) Q_n^2(x) dx 成立。

结论:

对于定义在区间 [-1, 1] 上的 n 次多项式 P(x) 和 Q_n(x)，如果它们属于 H_n 空间，则积分不等式 ∫(-1 to 1) P^2(x) dx ≤ ∫(-1 to 1) Q_n^2(x) dx 成立。