证明非空有界数集并集的上确界等于其子集上确界的最大值

为了证明 supS = max{supA, supB}，我们需要证明两个方向的不等式。

首先，假设 x 是 S 的上确界（即 supS），那么 x 必须满足两个条件：

由于 A 和 B 是非空有界数集，所以它们都有上确界。设 supA 是 A 的上确界，supB 是 B 的上确界。根据上确界的定义，我们知道：

现在我们需要证明 x ≤ max{supA, supB}，即 x 不会超过 max{supA, supB}。

假设 max{supA, supB} = supA，那么对于任意 a ∈ A，有 a ≤ max{supA, supB}。由于 x 是 S 的上确界，我们知道 a ≤ x。因此，我们可以得出结论，如果 max{supA, supB} = supA，那么 x ≥ max{supA, supB}。

同理，假设 max{supA, supB} = supB，那么对于任意 b ∈ B，有 b ≤ max{supA, supB}。根据 x 是 S 的上确界，我们得到 b ≤ x。因此，如果 max{supA, supB} = supB，那么 x ≥ max{supA, supB}。

综上所述，无论是 max{supA, supB} = supA 还是 max{supA, supB} = supB，我们都可以得出 x ≥ max{supA, supB}。

现在我们需要证明 max{supA, supB} ≤ x，即 max{supA, supB} 不会超过 x。

根据上确界的定义，对于任意 a ∈ A，有 a ≤ supA ≤ x。同理，对于任意 b ∈ B，有 b ≤ supB ≤ x。因此，我们可以得出结论，无论是 supA 还是 supB，都不会超过 x。

综上所述，我们证明了两个方向的不等式，即 x ≤ max{supA, supB} 和 max{supA, supB} ≤ x。因此，我们可以得出结论 supS = max{supA, supB}。