BPAM 最大似然判决最佳门限推导

根据最大似然准则，我们需要找到一个门限值，使得在该门限值下，接收信号矢量 r 的条件概率密度函数在接收到正弦波信号时的概率最大。

假设接收到的信号为正弦波信号，即 r=√E+n，那么接收到噪声时，r=-√E+n。

接下来我们需要分别求出接收到正弦波信号和接收到噪声时的条件概率密度函数。

当接收到正弦波信号时，r 的概率密度函数为：

f(r|sine) = 1/(√(2πN/2)) * exp(-(r-√E)^2/(2N/2))

当接收到噪声时，r 的概率密度函数为：

f(r|noise) = 1/(√(2πN/2)) * exp(-(r-(-√E))^2/(2N/2))

根据最大似然准则，我们需要找到一个门限值θ，使得当 r>θ 时，判决为正弦波信号；当 r<θ 时，判决为噪声。

因此，我们需要比较两种情况下的条件概率密度函数，即：

f(r|sine) > f(r|noise) 时，判决为正弦波信号；

f(r|sine) < f(r|noise) 时，判决为噪声。

将上述两个条件代入到概率密度函数中，我们可以得到：

exp(-(r-√E)^2/(2N/2)) > exp(-(r-(-√E))^2/(2N/2))

化简后可得：

r > (ln(1+√2)*√E + ln(1-√2)*N/2) / (ln(1+√2) - ln(1-√2))

r < (-ln(1+√2)*√E + ln(1-√2)*N/2) / (ln(1+√2) - ln(1-√2))

因此，最佳判决门限为：

θ = (ln(1+√2)*√E + ln(1-√2)*N/2) / (ln(1+√2) - ln(1-√2))