已知函数求取值范围和证明不等式

(1) 当 'x' > 0 时，有 'f(x)' > 0, 即 'x^2 + 2x - 3' > 0. 因此 'f(x)' 的取值范围为 '(-∞, -3) ∪ (1, +∞)'。

(2) 由题意可得方程组 'f(x1) = 0' 和 'f(x2) = 0' 。令 't = x1 + x2'，则方程组可化为

(1) 'x1^2 + 2x1 - 3 = 0' (2) 'x2^2 + 2x2 - 3 = 0'

由(1)式可得 'x1 = -3' 或 'x1 = 1'

由(2)式可得 'x2 = -3' 或 'x2 = 1'

将两式相加，得 't = x1 + x2 = -6' 或 't = x1 + x2 = -2' 或 't = x1 + x2 = 0' 或 't = x1 + x2 = 2'

因为 'f(x)' 有两个零点，所以 't = x1 + x2 ≠ 0'。从上式可知 't = x1 + x2 = -6' 或 't = x1 + x2 = -2' 或 't = x1 + x2 = 2'

因此，有 't^2 + 4t + 3 > 0'

代入原式可得

'(x1 + x2)^2 + 4(x1 + x2) + 3 > 0'

即证得 '(x1 + x2)^2 + 4(x1 + x2) + 3 > 0'。