MATLAB & 运筹学：优化机车牵引方案 - 最少机车数量与均衡分配

优化机车牵引方案：最小化机车数量并实现均衡分配/n/n问题描述：/n/nA 站到达列车 10 列，出发列车 8 列，B 站到达列车 8 列，出发列车 10 列。到达和出发列车车次和时刻均已知，如表 1 至表 4 所示。/n/n表 1：A 站到达列车时刻表/n/n| 到达列车 | 到达时刻 |/n|---|---| /n| 302 | 18:30 | /n| 304 | 22:00 | /n| 306 | 01:20 | /n| 308 | 02:10 | /n| 310 | 04:40 | /n| 312 | 07:00 | /n| 314 | 10:00 | /n| 316 | 12:00 | /n| 318 | 14:30 | /n| 320 | 16:30 |/n/n表 2：A 站出发列车时刻表/n/n| 出发列车 | 出发时刻 |/n|---|---| /n| 301 | 18:20 | /n| 303 | 21:20 | /n| 305 | 23:30 | /n| 307 | 03:30 | /n| 309 | 05:20 | /n| 311 | 08:30 | /n| 313 | 12:30 | /n| 315 | 15:50 |/n/n表 3：B 站到达列车时刻表/n/n| 到达列车 | 到达时刻 |/n|---|---| /n| 301 | 03:50 | /n| 303 | 07:20 | /n| 305 | 09:30 | /n| 307 | 12:30 | /n| 309 | 14:50 | /n| 311 | 18:00 | /n| 313 | 22:30 | /n| 315 | 00:50 |/n/n表 4：B 站出发列车时刻表/n/n| 出发列车 | 出发时刻 |/n|---|---| /n| 302 | 09:00 | /n| 304 | 12:00 | /n| 306 | 14:20 | /n| 308 | 16:00 | /n| 310 | 18:40 | /n| 312 | 21:30 | /n| 314 | 00:30 | /n| 316 | 03:30 | /n| 318 | 05:00 | /n| 320 | 07:00 |/n/n机车整备作业时间为 100 分钟。/n/n任务：/n/n如何安排机车牵引列车，使得机车数量最少，并且机车使用均衡？/n/n解决方案和模型：/n/n为了使机车使用均衡并且机车数量最少，我们需要将机车尽可能地分配给不同的列车，同时最小化机车的总数。为了实现这一点，我们可以使用整数线性规划（Integer Linear Programming，简称 ILP）模型。/n/n设 $x_{ij}$ 表示第 $i$ 台机车是否被分配给了第 $j$ 列车，其中 $i=1,2,/ldots,n$，$j=1,2,/ldots,m$，$n$ 表示机车的数量，$m$ 表示列车的数量。/n/n我们需要最小化机车的总数，因此目标函数为：/n/n$$//min //sum_{i=1}^{n}//sum_{j=1}^{m} x_{ij}$$ /n/n其中 $//sum_{i=1}^{n} x_{ij}$ 表示第 $j$ 列车所需的机车数量。/n/n我们需要满足以下约束条件：/n/n1. 每个列车都必须被分配至少一台机车：/n/n$$//sum_{i=1}^{n} x_{ij} //ge 1, //quad j=1,2,//ldots,m$$/n/n2. 每个机车只能被分配给一个列车：/n/n$$//sum_{j=1}^{m} x_{ij} //le 1, //quad i=1,2,//ldots,n$$/n/n3. 机车使用均衡，即每个机车的使用次数应该尽量相同：/n/n$$//left|//sum_{j=1}^{m} x_{ij} - //frac{m}{n}//right| //le //delta, //quad i=1,2,//ldots,n$$/n/n其中 $//delta$ 表示允许的误差范围，可以根据具体情况进行设定。/n/n4. 机车不能同时被分配到同一列车的到达和离开：/n/n$$x_{i,j} + x_{i,j+1} //le 1, //quad i=1,2,//ldots,n,// j=1,3,//ldots,m-1$$/n/n5. 机车不能同时被分配到同一列车的离开和到达：/n/n$$x_{i,j} + x_{i,j-1} //le 1, //quad i=1,2,//ldots,n,// j=2,4,//ldots,m$$/n/n算法公式：/n/n根据上述模型，我们可以得到如下的整数线性规划模型：/n/n$$//begin{aligned}//min //quad & //sum_{i=1}^{n}//sum_{j=1}^{m} x_{ij} //////text{s.t.} //quad & //sum_{i=1}^{n} x_{ij} //ge 1, //quad j=1,2,//ldots,m //////& //sum_{j=1}^{m} x_{ij} //le 1, //quad i=1,2,//ldots,n //////& //left|//sum_{j=1}^{m} x_{ij} - //frac{m}{n}//right| //le //delta, //quad i=1,2,//ldots,n //////& x_{i,j} + x_{i,j+1} //le 1, //quad i=1,2,//ldots,n,// j=1,3,//ldots,m-1 //////& x_{i,j} + x_{i,j-1} //le 1, //quad i=1,2,//ldots,n,// j=2,4,//ldots,m //////& x_{ij} //in //{0,1//}, //quad i=1,2,//ldots,n,// j=1,2,//ldots,m//////end{aligned}$$/n/n其中 $//delta$ 表示允许的误差范围。/n/n我们可以使用整数线性规划求解器来求解上述模型，例如使用 MATLAB 自带的 intlinprog 函数。代码如下：/n/nmatlab/n% 数据准备/narrive_A = [18:30 22 0 1 20 7 10 12 30 16 30];/ndepart_A = [18 21 20 23 30 30 50 50];/narrive_B = [3 50 7 20 9 30 12 30 14 50 18 0 22 30 50];/ndepart_B = [9 12 14 20 40 21 30 30 5 7];/n/n% 构造整数线性规划模型/nn = length(arrive_A) + length(depart_A) + length(arrive_B) + length(depart_B);/nm = length(arrive_A) + length(depart_A) + length(arrive_B) + length(depart_B);/ndelta = 0.1;/n/nf = ones(n*m,1);/nAeq = zeros(m+n,n*m);/nbeq = zeros(m+n,1);/nlb = zeros(n*m,1);/nub = ones(n*m,1);/n/n% 约束 1：每个列车都必须被分配至少一台机车/nfor j = 1:m/n Aeq(j,(j-1)*n+1:j*n) = 1;/n beq(j) = 1;/nend/n/n% 约束 2：每个机车只能被分配给一个列车/nfor i = 1:n/n Aeq(m+i,(i-1)*m+1:i*m) = 1;/n beq(m+i) = 1;/nend/n/n% 约束 3：机车使用均衡/nfor i = 1:n/n Aeq(m+n+i,(i-1)*m+1:i*m) = ones(1,m);/n beq(m+n+i) = m/n;/nend/nAeq(m+n+1:m+2*n,:) = Aeq(m+n+1:m+2*n,:) .* (-1);/nbeq(m+n+1:m+2*n) = beq(m+n+1:m+2*n) .* (-1);/nbeq(m+n+1:m+2*n) = beq(m+n+1:m+2*n) + delta;/n/n% 约束 4：机车不能同时被分配到同一列车的到达和离开/nfor i = 1:n/n for j = 1:2:m-1/n Aeq(m+2*n+1+(i-1)*((m-1)/2)+floor(j/2),[i+(j-1)*n,i+j*n]) = 1;/n end/nend/n/n% 约束 5：机车不能同时被分配到同一列车的离开和到达/nfor i = 1:n/n for j = 2:2:m/n Aeq(m+2*n+(m-1)/2+1+(i-1)*((m-1)/2)+floor(j/2),[i+(j-1)*n,i+(j-2)*n]) = 1;/n end/nend/n/n% 求解整数线性规划模型/n[x,fval] = intlinprog(f,1:n*m,[],[],Aeq,beq,lb,ub);/n/n% 解析结果/nx = reshape(x,n,m);/nfor i = 1:n/n for j = 1:m/n if x(i,j) == 1/n fprintf('机车%d被分配给列车%d//n',i,j);/n end/n end/nend/nfprintf('最小机车数量：%d//n',fval);/n/n/n说明：/n/n1. 首先我们需要准备好数据，即到达和出发列车的车次和时刻。/n2. 然后我们需要构造整数线性规划模型，包括目标函数和约束条件。/n3. 最后我们使用 MATLAB 自带的 intlinprog 函数求解整数线性规划模型，并解析结果。/n/n注意事项：/n/n1. 在约束 3 中，我们使用了绝对值不等式的方法，将其转化为两个线性不等式。/n2. 在约束 4 和 5 中，我们使用了二进制变量的方法，将一个机车不能同时被分配到同一列车的到达和离开的约束条件转化为两个约束条件。/n/n希望这篇文章能帮助您理解如何使用 MATLAB 和运筹学知识解决机车牵引问题，并能为您提供一些启发。