二维随机变量概率密度例题：求P(X+Y<=1)的概率

二维随机变量的概率密度是用来描述两个随机变量之间的关系的。下面我们来看一个例题：

假设有一对随机变量 (X,Y)，它们的概率密度函数如下：

f(x,y) = 2x+y, 0<=x<=1, 0<=y<=1

求P(X+Y<=1)的概率。

我们可以先画出该二维随机变量的概率密度函数图像，如下图所示：

要求P(X+Y<=1)的概率，可以将X和Y的取值范围画在坐标系上，如下图所示：

我们可以看出，当X+Y<=1时，点 (X,Y) 落在三角形区域内。因此，P(X+Y<=1)的概率可以表示为：

P(X+Y<=1) = ∫∫D f(x,y) dxdy

其中，D表示该三角形区域，f(x,y)是概率密度函数。

对于该概率密度函数，我们可以将其拆分为两个部分，即：

f(x,y) = 2x+y = 2x * 1 + y * 1

因此，我们可以分别计算出两个积分：

∫∫D 2x dxdy 和 ∫∫D y dxdy

计算第一个积分时，我们可以先对x进行积分，然后再对y进行积分，即：

∫∫D 2x dxdy = ∫0^1 ∫0^(1-x) 2x dy dx

= ∫0^1 2x(1-x) dx = 1/3

计算第二个积分时，我们可以先对y进行积分，然后再对x进行积分，即：

∫∫D y dxdy = ∫0^1 ∫0^(1-y) y dx dy

= ∫0^1 y(1-y)/2 dy = 1/6

因此，P(X+Y<=1)的概率为：

P(X+Y<=1) = ∫∫D f(x,y) dxdy = ∫∫D 2x+y dxdy

= ∫∫D 2x dxdy + ∫∫D y dxdy = 1/3 + 1/6 = 1/2

综上所述，该二维随机变量的概率密度函数为 f(x,y) = 2x+y, 0<=x<=1, 0<=y<=1，P(X+Y<=1)的概率为1/2。