1/(1+x^2) 的不定积分详解 - 详细步骤和结果

首先，我们可以将被积函数写成另一种形式，即 1/(1+x^2)。这时，我们可以使用反三角函数的知识来求解不定积分。

我们可以令 u = x，然后对于 dx 进行代换。这时，我们有：

du/dx = 1

dx = du

这样，我们可以将被积函数转化为：

∫1/(1+x^2) dx = ∫1/(1+u^2) du

接下来，我们可以使用反正切函数来求解这个不定积分。具体来说，我们有：

∫1/(1+u^2) du = arctan(u) + C

其中，C 为常数项。将 u = x 代入上式，我们就得到了被积函数的不定积分：

∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C

注意，这个结果并不是唯一的。因为反正切函数具有周期性，所以我们还可以写出下面的形式：

∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + kπ

其中，k 为整数。这个结果可以通过画出反正切函数的图像来理解。因为反正切函数在每个 π 的整数倍处具有垂直渐近线，所以我们可以在这些点上添加 kπ 以得到不同的解。

总之，被积函数 1/(1+x^2) 的不定积分为 arctan(x) + kπ，其中 k 为整数。